Media geométrica

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (digamos n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números.

${\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

${\sqrt[{2}]{2\cdot 18}}={\sqrt[{2}]{36}}=6$

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 seria

${\sqrt[{3}]{1\cdot 3\cdot 9}}={\sqrt[{3}]{27}}=3$

La pregunta que contesta es: si no todas las cantidades fueran iguales, ¿cuál sería esa cantidad de forma que el producto fuera el mismo?

Propiedades

El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

Ventajas:

• considera todos los valores de la distribución y
• es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

Desventajas:

• es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética,
• su cálculo es más difícil y
• en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor x_i=0 entonces la media geométrica se anula.

Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.

En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal.

La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

Media geométrica ponderada

Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes:

${\bar {x}}=\left({\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}^{\alpha _{i}}}\right)^{\frac {1}{\sum _{i}{\alpha _{i}}}}=\left({x_{1}}^{\alpha _{1}}{x_{2}}^{\alpha _{2}}\dots {x_{n}}^{\alpha _{n}}\right)^{\frac {1}{\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}}}$

Donde las α_i son los «pesos».

Véase también

• Media aritmética
• Media de Herón

Referencias

• 'Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Teoría y Práctica.' de Fco. Javier Martín-Pliego López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).
• 'Manual de Estadística Empresarial con ejercicios resueltos' de Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava y Eva Romero. Editorial Delta Publicaciones. 2008 (Madrid).

Enlaces externos

• Ejemplos de media geométrica interactiva
• Media geométrica (Korovkin)