Lógica binaria

La lógica binaria trabaja con variables binarias y operaciones lógicas. Así, las variables sólo toman dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso); aunque también se pueden denotar como sí y no, ó 1 y 0 respectivamente.

Principio de dualidad

Todas las expresiones booleanas permanecen válidas si se intercambian los operadores '+' y '·', y los elementos '0' y '1'.

Así para obtener una expresión algebraica dual, se intercambian los operadores AND y OR y se reemplazan unos por ceros y viceversa.

Tablas de verdad de las operaciones binarias fundamentales

Multiplicación lógica o intersección

También conocida como AND (la conjunción y en inglés).

$0\cdot 0\;=0$

$0\cdot 1\;=0$

$1\cdot 0\;=0$

$1\cdot 1\;=1$

Resumiendo, el resultado siempre dará 0 a menos que ambas variables valgan 1; esto sucede porque como se explicó anteriormente hay solo dos variable 0 y 1 por consiguiente al multiplicar 1·1 nos da como resultado 1. (Equivale a la multiplicación)

Suma lógica o unión

También conocida como OR (o).

$0+0=0\;\!$

$0+1=1\;\!$

$1+0=1\;\!$

$1+1=1\;\!$

Resumiendo, el resultado arrojado será siempre 1 si al menos una de las variables tiene por valor 1.

Nota: Estrictamente, entre AND y OR sólo una de las dos podría considerarese fundamental ya que una puede obtenerse de la otra en combinación con el NOT según las leyes de De Morgan.

Negación lógica

También conocida como NOT (no).

${\bar {0}}=1\;$

${\bar {1}}=0\;$

El not es una inversión del valor como se ve. (Equivale a restar el valor inicial de 1)

Operaciones lógicas compuestas

Siguiendo el Álgebra de Boole se pueden combinar estas operaciones empleando varias variables y obteniendo resultados más complejos. A continuación una tabla de verdad de una operación lógica compuesta.

Ejemplo:

A · (B + C) = A · (B + C)

A B C   Resultado 
0 0 0     0 
0 0 1     0
0 1 0     0
0 1 1     0
1 0 0     0 
1 0 1     1
1 1 0     1
1 1 1     1

Axiomas

Las propiedades definen reglas precisas para transformar unas expresiones en otras equivalentes. Los axiomas son propiedades primitivas.

Propiedad conmutativa (el resultado no depende del orden)

$A+B=B+A\,\!$

$A\cdot B=B\cdot A$

Propiedad asociativa (el resultado no depende de el modo de asociación)

$A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C\,\!$

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C\,\!$

Propiedad distributiva (una operación se distribuye en una asociación)

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$

Otras propiedades

• $0\cdot A=0$
• $1\cdot A=A$
• $0+A=A\,\!$
• $1+A=1\,\!$
• ${\overline {\overline {A}}}\;=A$
• $A+A=A\,\!$
• $A\cdot \;A=A$
• $A+{\overline {A}}\;=1$
• $A\cdot \;{\overline {A}}\;=0$
• $A+(A\cdot B)=A$
• $A\cdot (A+B)=A$
• $A+({\overline {A}}\cdot B)=A+B$
• $A\cdot ({\overline {A}}+B)=A\cdot B$

Leyes de Morgan

• ${\overline {(A+B)}}\;={\overline {A}}\;\cdot \;{\overline {B}}\;$
• ${\overline {(A\cdot \;B)}}\;={\overline {A}}\;+{\overline {B}}\;$

Operadores no fundamentales XOR, XNOR e IMPLIES

Los operadores no fundamentales pueden expresarse a partir de los operadores fundamentales

• XOR:

$A\oplus \;B={\overline {A}}\;\cdot \;B+{\overline {B}}\;\cdot \;A$

$0\oplus \;0=0\,\!$

$0\oplus \;1=1\,\!$

$1\oplus \;0=1\,\!$

$1\oplus \;1=0\,\!$

XOR se conoce como OR exclusiva

• XNOR:

$A\bigodot \;B=A\cdot \;B+{\overline {B}}\;\cdot \;{\overline {A}}\;$

$0\bigodot \;0=1\,\!$

$0\bigodot \;1=0\,\!$

$1\bigodot \;0=0\,\!$

$1\bigodot \;1=1\,\!$

XNOR equivale a «si y sólo si».

• IMPLIES:

$A\rightarrow \;B={\overline {A}}\;+B\,\!$

$0\rightarrow \;0=1\,\!$

$0\rightarrow \;1=1\,\!$

$1\rightarrow \;0=0\,\!$

$1\rightarrow \;1=1\,\!$

IMPLIES equivale a «si ... entonces ...».

Véase también

• Sistema binario
• Tabla de verdad
• Puerta lógica
• Álgebra booleana