Potenciación

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n},$

Por ejemplo: $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$.

• cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}={\frac {1}{a^{p}}}$

• cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0⁰ que, en principio, es una indefinición (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

$x^{1}=x\,$

$x^{a}=x\cdot x^{a-1}$

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Así, toda potencia de exponente 0 y base cualquier $a\in \mathbb {R}$, incluido 0, es igual a 1

$a^{0}=1\,$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^{1}=a\,$

ejemplo:

$54^{1}=54\,$

Producto de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base «a» es igual a la potencia de dicha base «a» y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

ejemplos:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}$

Cociente de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes):

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n".

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a+b)^{m}\neq a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}\neq a^{m}-b^{m}$

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

$a^{b}\neq b^{a}$

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}$

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

$10^{2}=100\,$

$10^{5}=100.000\,$

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d\,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Representación gráfica

gráfico de $Y=X^{2}\,$

gráfico de $Y=X^{3}\,$

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se situa en el punto (0, 0) y su crecimiento es positivo en sentido del eje Y (en el primero y segundo cuadrantes).

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Su vértice es el punto (0, 0), pero una rama crece en la dirección del eje Y (en el primer cuadrante) y la otra decrece (en el tercer cuadrante).

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

Véase también

• Radicación
• Exponenciación

Enlaces externos

• Potenciación en escolar.com
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español

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