Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Teorema de Pappus

Si la superficie generatriz pertenece en su totalidad a uno de los semiplanos determinados por el eje de rotación, el volumen del sólido generado es igual al producto del perímetro de la circunferencia descrita por el centroide de la superficie y el área de ésta. Este resultado se conoce con el nombre de Segundo Teorema de Pappus.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:

$V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

$V=2\pi \int _{a}^{b}(x-K)^{2}[f'(x)-g'(x)]\,dx$

Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

$V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx$

Véase también

• Superficie de revolución