Paradoja de Arrow

El Teorema de Imposibilidad de Arrow (o Paradoja de Arrow), demuestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan a un cierto conjunto de criterios "racionales".

Fue enunciado y demostrado por primera vez por el Premio Nobel de Economía Kenneth Arrow en su tesis doctoral Social choice and individual values, y popularizado en su libro del mismo nombre editado en 1951. El artículo original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, fue publicado en The Journal of Political Economy,​ en agosto de 1950.

Motivación del Teorema

En el campo microeconómico se estudia el comportamiento de los agentes económicos individuales partiendo de la base que son racionales. Por racionalidad se quiere decir que tienen preferencias que son transitivas, completas y reflexivas. Podemos hablar que las preferencias son transitivas cuando claramente es posible establecer relaciones ordenadas entre las diferentes alternativas que se nos presentan. Si recordamos la propiedad transitiva es una de las características de la adición. En la que si A es mayor que B y B es mayor que C, podríamos esperar que A es mayor que C. También podríamos establecer relaciones de mayor igual, menor igual, menor o mayor. La situación es que cuando estamos eligiendo entre más de dos alternativas al agregar las preferencias individuales se pueden dar relaciones circulares donde la intransitividad aparece. Un caso de intransitividad por ejemplo es cuando un conjunto de tres votantes ha de elegir entre tres alternativas. El método de votación es mayoría simple. El votante A, prefiere la opción X sobre la Y y Y sobre Z, el votante B prefiere a Y sobre X y a X sobre Z, el votante C prefiere a Z sobre Y y a Y sobre X. En esta situación ¿qué opción debemos elegir? Es un ejemplo de lo que se conoce como la paradoja de Condorcet.

La pregunta que se formula la teoría de la 'elección social' es bajo qué condiciones resulta posible que las preferencias agregadas de un conjunto de invididuos sean racionales (reflexivas, transitivas y completas). ¿Es posible una función que agregue todas las preferencias individuales y cumpla un mínimo de condiciones de lo que consideramos como democrático? Anteriormente existía el resultado que una regla de mayoría simple puede en ocasiones dar lugar a preferencias agregadas que son intransitivas (Paradoja de Concorcet). El resultado del Teorema de Arrow concluye que no existe ninguna regla de agregación de preferencias que tenga tales propiedades normativas deseables (que la agregación resulte en preferencias racionales, que la regla y los resultados sean válidos para cualquier configuración de preferencias, que no vayan contra la unanimidad y que la preferencia social entre dos alternativas sea independiente de la existencia o no de terceras alternativas), a no ser que las preferencias sean el fiel reflejo de las preferencias de algún individuo, denominado "dictador".

Enunciado simplificado del Teorema

El Teorema de Imposibilidad de Arrow establece que una sociedad necesita acordar un orden de preferencia entre diferentes opciones. Cada individuo en la sociedad tiene su propio orden de preferencia personal. El problema es encontrar un mecanismo general (una regla de elección social) que transforme el conjunto de los órdenes de preferencia individuales en un orden de preferencia para toda la sociedad, el cual debe satisfacer varias propiedades deseables:

• Dominio no restringido o universalidad: la regla de elección social debería crear un orden completo por cada posible conjunto de órdenes de preferencia individuales (el resultado del voto debería poder ordenar entre sí todas las preferencias y el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes)
• No imposición o criterio de Pareto débil: si A resulta socialmente preferido a B, debe existir al menos un individuo para el cual A sea preferido a B. Esto implica que la regla no va contra el criterio de unanimidad.
• Ausencia de dictadura: la regla de elección social no debería limitarse a seguir el orden de preferencia de un único individuo ignorando a los demás.
• Asociación positiva de los valores individuales y sociales o monotonía: si un individuo modifica su orden de preferencia al promover una cierta opción, el orden de preferencia de la sociedad debe responder promoviendo esa misma opción o, a lo sumo, sin cambiarla, pero nunca degradándola.
• Independencia de las alternativas irrelevantes: si restringimos nuestra atención a un subconjunto de opciones y les aplicamos la regla de elección social a ellas solas, entonces el resultado debiera ser compatible con el correspondiente para el conjunto de opciones completo. Los cambios en la forma que un individuo ordene las alternativas "irrelevantes" (es decir, las que no pertenecen al subconjunto) no debieran tener impacto en el ordenamiento que haga la sociedad del subconjunto "relevante".

El teorema de Arrow dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una regla de elección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones. Formalmente, el conjunto de reglas de decisión que satisfacen los criterios requeridos resulta vacío.

Demostración

Para demostrarlo tomaremos como ciertos los axiomas y veremos que hay un votante decisivo que es un dictador (contradicción con el axioma 3). Comencemos con una definición.

Un conjunto $V$ de votantes se dice decisivo para la alternativa $x$ contra $y$ si $x$ es elegido siempre que todo votante de $V$ prefiera $x$ a $y$

Demostración: Paso I {(Hay un votante decisivo)} Para cada par de alternativas $x$, $y$ existe al menos un conjunto no vacío decisivo, el conjunto de todos los votantes. Entre todos estos conjuntos cojamos el conjunto mínimo, llamemosle $V$. Si este conjunto tiene un único votante entonces ya está, este es nuestro votante decisivo. Veamos el caso de que tiene al menos dos votantes. Sea $V^{*}$ el conjunto contenido en $V$ y formado por un \'unico votante, y sea ${\hat {V}}=V-V^{*}$. Sea $V'=V^{c}$. Vamos a ver que $V*$ es decisivo para alguna elección, llegando así a contradicción con que $V$ era mínimo. Sea $V$ decisivo para $x$ o $y$, y sea $z$ cualquier otra alternativa, supongamos que $V^{*}$ elige ($xyz$), ${\hat {V}}$ vota ($zxy$) y todos en $V'$ votan ($yzx$). Hay que notar que todos en $V$ prefieren $x$ a $y$ y todos en $V'$ $y$ a $x$, entonces, como $V$ era decisivo en la elección la sociedad prefiere a $x$ en lugar de a $y$. Ahora bien, ${\hat {V}}$ es menor que $V$, luego no es decisivo para nada, en particular no es decisivo en la elección $y$ o $z$, entonces la sociedad prefiere $y$ a $z$. Usemos la transitividad, la sociedad prefiere $x$ a $y$ pero también $y$ a $z$, entonces prefiere $x$ a $z$. Pero si vemos las votaciones el único que ha votado $x$ por encima de $z$ es $V^{*}$, luego $V^{*}$ es decisivo para $x$ o $z$ y aquí tenemos la contradicción con que $V$ era mínimo.

Demostración: Paso II (este votante decisivo es un dictador)Sea $J$ un miembro de la sociedad, decimos que $a{\bar {D}}b$ si $a$ es preferido por la sociedad siempre que $J$ prefiera a $a$ y sin importar el resto de los votos. Y decimos $aDb$ si $a$ es preferido por la sociedad si $J$ prefiere a $a$ y el resto de la sociedad a $b$. Vemos que $a{\bar {D}}b$ es la condición de dictadura, mientras que $aDb$ es la de ser decisivo.

Llegados a este punto debemos demostra un lema que nos será útil.

Lema: Supongamos que tenemos tres alternativas, $a,b,c$, entonces:

$aDb\Rightarrow a{\bar {D}}c$

y

$aDb\Rightarrow c{\bar {D}}b$

Demostración (del lema): Tenga $J$ esta prioridad, $abc$, y supongamos que el resto prefiere a $b$ antes que a $a$ o a $c$. Como $aDb$, entonces la sociedad prefiere $a$ a $b$. Como todos los individuos prefieren $b$ a $c$ también la sociedad, entonces, por transitividad, la sociedad prefiere $a$ a $c$. El axioma 5 nos asegura que siempre que $J$ prefiera $a$ a $c$ también lo hará la sociedad. Esto es $a{\bar {D}}c$. Para probar que $aDb\Rightarrow c{\bar {D}}b$ supongamos que $J$ ordena las alternativas en orden $cab$ y todos los otros votantes los ordenan $cba$ o $bca$. Como tenemos $aDb$ la sociedad prefiere a $a$ en lugar de a $b$. Por unanimidad la sociedad prefiere $c$ a $a$. La transitividad nos da que la sociedad prefiere $c$ sobre $b$. Y, por el axioma 5 tenemos que $c{\bar {D}}b.\quad \blacksquare$

Podemos seguir ahora con la prueba. Tenemos que ver que $a{\bar {D}}b$ para todo par de alternativas. $1.x{\bar {D}}z\quad 2.z{\bar {D}}y\quad 3.x{\bar {D}}y\quad 4.y{\bar {D}}z\quad 5.z{\bar {D}}x\quad 6.y{\bar {D}}x$ La prueba de 1 viene directamente del lema con $a=x,b=y$ y $c=z$. De manera similar tenemos 2. Ahora tenemos que $a=x,b=z$ y $c=y$ nos dan 3 y 4. Las pruebas de 5 y 6 son similares. $\blacksquare$

Interpretaciones del Teorema de Arrow

El Teorema de Arrow suele expresarse en lenguaje no matemático con la frase "Ningún sistema de voto es justo". Sin embargo, esta frase es incorrecta o, en el mejor de los casos, imprecisa, ya que haría falta clarificar qué se entiende por un mecanismo de voto justo. Aunque el propio Arrow emplea el término "justo" para referirse a sus criterios, no es en absoluto evidente que así sea.

El criterio más discutido es el de independencia de las alternativas irrelevantes ya que parece excesivamente "fuerte". Y así, con una definición más restringida de "alternativas irrelevantes" que excluya a aquellos candidatos del conjunto de Smith, algunos métodos de Condorcet satisfacen todos los criterios.

En cualquier caso, el Teorema de Arrow es un resultado significativo y con profundas implicaciones en el campo de la Teoría de la decisión.

Enlaces externos

• Tres pruebas sucintas del Teorema de Imposibilidad de Arrow (en Inglés)
• Una prueba pedagógica del Teorema de Imposibilidad de Arrow (en Inglés)
• Discusión del Teorema de Arrow y el método de Condorcet (en Inglés)
• Otra explicación en un blog (en Inglés).