Diferencia entre revisiones de «Función implícita»
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Finalmente despejando <math>\frac {dy}{dx}</math> se obtiene la derivada de la función implícita: |
Finalmente despejando <math>\frac {dy}{dx}</math> se obtiene la derivada de la función implícita: |
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: <math> \frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y } </math> |
: <math> \frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y } </math> |
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= Diferenciación == |
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Para poder derivar una función implícita se usa la [[Regla de la cadena]], en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: |
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Dada una función <math> F(x,y) \,</math>, implícita, si queremos calcular la derivada de '''y''' respecto de '''x''': <math> \frac{dy}{dx} = f'(x) </math>. |
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Si consideramos <math> y = f \left ( x \right ) </math> es una función en términos de la variable independiente '''x''' y <math> G \left ( y \right ) </math> es una función en términos de la variable dependiente '''y''', dado que <math> y = f \left ( x \right ) </math>, entonces para obtener la derivada: |
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: <math> D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( x \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right ) </math> |
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== Véase también == |
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* [[Función matemática]] |
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* [[Derivada]] |
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* [[Teorema de la Función Implícita]] |
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[[Categoría:Funciones|Funcion implicita]] |
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[[en:Implicit function]] |
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[[he:פונקציה סתומה]] |
Revisión del 23:17 5 nov 2009
Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:
Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:
Ejemplo
Obtener la derivada de:
El término Se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:
El término se deriva como:
El término se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando
Agrupando los valores se obtiene:
Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:
Diferenciación =
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada: