Diferencia entre revisiones de «Binomio»
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Binomio termino de cinco perros chingones |
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En [[álgebra]], un '''binomio''' es una expresión algebraica con dos [[término]]s. Estrictamente hablando se refiere a un [[polinomio]] formado por la suma de dos [[monomio]]s, aunque se usa de forma más facil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos [[término]]s. |
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Bajo la definición estricta son binomios las expresiones: |
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a,b,c2 del mono cerdo pero cuca la creadora de pizzas como en clubpenguin[http://www.clubpenguin.com /es/] |
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{{ecuación|<math>x^2-3y, \qquad 5a+\sqrt{3}</math> }} |
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mientras que no lo son expresiones tales como: |
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{{ecuación| <math>\cos(x)-\tan(x),\qquad e^{x}-1, \qquad x^2-\sqrt{x+1}</math> }} |
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puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. Así, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección de "binomios al cuadrado" que diga «''Calcula el resultado de'' (cos(''x'')+sen(''x''))<sup>2</sup>». |
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== Grado de un binomio == |
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Para hallar el '''grado''' de un binomio :c, se calcula la suma de exponentes en cada término. La mayor suma es el grado. |
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: Así, en el binomio <math> a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2\,</math> el primer monomio tiene grado 2+5+2+1 = 10, mientras que el grado del segundo es 3+9+2 = 14, por lo que el binomio tiene grado 14. |
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:El binomio <math>\frac{x}{2}+3\,</math> tiene grado 1, puesto que el grado de ''x'' = ''x''<sup>1</sup> es 1, mientras que el grado del número ''3'' es cero. |
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== Productos notables == |
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{{principal|Productos notables}} |
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[[Imagen:FactorComun.svg|thumb|Representación gráfica de la regla de ''factor común'']]Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan '''[[productos notables]]''' y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra. |
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=== Factor común === |
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El resultado de multiplicar un binomio ''a+b'' con un término ''c'' se obtiene aplicando la [[propiedad distributiva]]: |
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{{ecuación|<math> |
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c (a + b) = c a + c b \, |
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</math>}} |
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o realizando la operación: |
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{{ecuación| <math> |
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\begin{array}{rrr} |
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& a & +b \\ |
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\times & & c \\ |
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\hline |
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& ca & +cb |
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\end{array} |
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</math>}} |
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Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es ''c(a+b)'' (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (''ca'' y ''cb''). |
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'''Ejemplo''': |
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:<math> 3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy \,</math> |
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=== Cuadrado de binomio === |
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[[Imagen:Binomio al cuadrado.svg|thumb|Visualización de la fórmula para ''binomio al cuadrado'']] Elevando un binomio al cuadrado es decir, se multiplica por sí mismo: |
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{{ecuación|<math> |
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(a + b)^2 = (a + b) \times (a + b) \, |
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</math>}} |
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que se puede multiplicar así: |
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{{ecuación| <math> |
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\begin{array}{rrr} |
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& a & +b \\ |
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\times & a & +b \\ |
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& +ab & +b^2 \\ |
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a^2 & +ab & \\ |
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a^2 & +2ab & +b^2 |
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\end{array} |
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</math>}} |
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Por lo que se puede expresar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir: |
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{{ecuación|<math> (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \, </math>}} |
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Un trinomio de la forma <math>a^2 + 2 a b + b^2 \,</math>, se conoce como [[trinomio cuadrado perfecto]]; |
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Cuando el segundo término es negativo: |
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{{ecuación|<math> |
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(a - b)^2 = (a - b) \times (a - b) \, |
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</math>}} |
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la forma con la que se obtiene es: |
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{{ecuación| <math> |
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\begin{array}{rrr} |
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& a & -b \\ |
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\times & a & -b \\ |
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\hline |
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& -ab & +b^2 \\ |
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a^2 & -ab & \\ |
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a^2 & -2ab & +b^2 |
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\end{array} |
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</math>}} |
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esto es: |
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{{ecuación|<math> (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,</math>}} |
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'''Ejemplo''': |
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:<math>(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y)+ (-3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,</math> |
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<br style="clear:both;" /> |
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== Suma por Diferencia == |
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El resultado de la operación: |
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{{ecuación|<math> (a + b)(a - b) \, </math>}} |
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es: |
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{{ecuación| <math> |
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\begin{array}{rrr} |
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& a & +b \\ |
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\times & a & -b \\ |
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\hline |
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& -ab & -b^2 \\ |
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a^2 & +ab & \\ |
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\hline |
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a^2 & & -b^2 |
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\end{array} |
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</math>}} |
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Que se suele decir: suma por diferencia, diferencia de cuadrados: |
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{{ecuación|<math> (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \, </math>}} |
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'''Ejemplo''': |
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:<math>(3x+5y)(3x-5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2 \,</math> |
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[[Imagen:Diferencia de cuadrados.svg|thumb|280px|Producto de ''binomios conjugados'']] |
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Dos binomios que sólo se diferencian en el signo de la operación se denominan '''binomios conjugados'''. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una '''diferencia de cuadrados''' |
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{{ecuación|<math> a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \, </math>}} |
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'''Ejemplo''': |
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:<math>(3x+5y)(3x-5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2 \,</math> |
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== Otros usos del término == |
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De forma coloquial se emplea binomio para denotar un par de conceptos o personas relacionadas. Así, se puede hablar de ''el binomio de [[Batman]] y [[Robin]]'' (pareja) o ''el binomio [[cliente]]/[[servidor]]'' (en informática). |
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== Véase también == |
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*[[Teorema del binomio]] |
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*[[Monomio]] |
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*[[Trinomio]] |
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*[[Polinomio]] |
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== Referencias == |
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{{cita libro |
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| apellidos = Wentworth |
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| nombre = George |
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| coautores = y Smith, David Eugene |
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| editor = Ginn & Co. |
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| título = Elementos de Algebra |
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| edición = 2a |
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| año = 1917 |
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| ubicación = Boston, USA |
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| id = ISBN |
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| páginas = 456 |
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}} |
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== Enlaces externos == |
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{{wikcionario|binomio}} |
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[[Categoría:Polinomios]] |
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[[Categoría:Álgebra elemental]] |
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[[ca:Binomi]] |
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[[de:Binom]] |
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[[en:Binomial]] |
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[[et:Binoom]] |
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[[fi:Binomi]] |
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[[fr:Binôme (mathématique)]] |
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[[it:Binomio]] |
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[[pl:Dwumian]] |
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[[ru:Бином]] |
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[[sl:Binom]] |
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[[sv:Binom]] |
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[[uk:Біном]] |
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[[zh:二项式]] |
Revisión del 19:54 9 sep 2009
En álgebra, un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios, aunque se usa de forma más facil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos términos.
Bajo la definición estricta son binomios las expresiones:
mientras que no lo son expresiones tales como:
puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. Así, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección de "binomios al cuadrado" que diga «Calcula el resultado de (cos(x)+sen(x))2».
Grado de un binomio
Para hallar el grado de un binomio :c, se calcula la suma de exponentes en cada término. La mayor suma es el grado.
- Así, en el binomio el primer monomio tiene grado 2+5+2+1 = 10, mientras que el grado del segundo es 3+9+2 = 14, por lo que el binomio tiene grado 14.
- El binomio tiene grado 1, puesto que el grado de x = x1 es 1, mientras que el grado del número 3 es cero.
Productos notables
Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra.
Factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
o realizando la operación:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).
Ejemplo:
Cuadrado de binomio
Elevando un binomio al cuadrado es decir, se multiplica por sí mismo:
que se puede multiplicar así:
Por lo que se puede expresar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:
Un trinomio de la forma , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;
Cuando el segundo término es negativo:
la forma con la que se obtiene es:
esto es:
Ejemplo:
Suma por Diferencia
El resultado de la operación:
es:
Que se suele decir: suma por diferencia, diferencia de cuadrados:
Ejemplo:
Dos binomios que sólo se diferencian en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo:
Otros usos del término
De forma coloquial se emplea binomio para denotar un par de conceptos o personas relacionadas. Así, se puede hablar de el binomio de Batman y Robin (pareja) o el binomio cliente/servidor (en informática).
Véase también
Referencias
Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN.
Enlaces externos
- Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre binomio.