Diferencia entre revisiones de «Teorema del binomio»
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En [[matemáticas]], el '''teorema del binomio''' es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: |
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{{teorema|El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math>}} |
{{teorema|El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math>}} |
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donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos. |
donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos. |
Revisión del 00:47 4 jun 2009
En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:
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donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que elHistoria
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.