Binomio

En álgebra, un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios, aunque se usa de forma más facil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos términos.

Bajo la definición estricta son binomios las expresiones:

$x^{2}-3y,\qquad 5a+{\sqrt {3}}$

mientras que no lo son expresiones tales como:

$\cos(x)-\tan(x),\qquad e^{x}-1,\qquad x^{2}-{\sqrt {x+1}}$

puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en ciertos contextos pueden ser referidos como binomios.

A veces, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio, en la sección de "binomios al cuadrado", que exponga: «Calcula el resultado de (cos(x)+sen(x))²».

Para hallar el grado de un binomio (o de un polinomio), se calcula la suma de exponentes en cada término. La mayor suma es el grado.

Así, en el binomio $a^{2}b^{5}c^{2}d-b^{3}c^{9}d^{2}\,$ el primer monomio tiene grado 2+5+2+1 = 10, mientras que el grado del segundo es 3+9+2 = 14, por lo que el binomio tiene grado 14.

El binomio ${\frac {x}{2}}+3\,$ tiene grado 1, puesto que el grado de x = x¹ es 1, mientras que el grado del número 3 es cero.

Productos notables

Representación gráfica de la regla de factor común

Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c(a+b)=ca+cb\,$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

$3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy\,$

Cuadrado de Binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo):

${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}$

se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

un trinomio de la forma $a^{2}+2ab+b^{2}\,$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo la fórmula que se obtiene es:

${\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}$

esto es:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

Ejemplo:

$(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,$

Suma por Diferencia

El resultado de la operación:

$(a+b)(a-b)\,$

es:

${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}$

Que se suele decir: suma por diferencia, diferencia de cuadrados:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y)=(3x)^{2}-(5y)^{2}=9x^{2}-25y^{2}\,$

Producto de binomios conjugados

Dos binomios que sólo se diferencian en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y)=(3x)^{2}-(5y)^{2}=9x^{2}-25y^{2}\,$

Otros usos del término

De forma coloquial se emplea binomio para denotar un par de conceptos o personas relacionadas. Así, se puede hablar de el binomio de Batman y Robin (pareja) o el binomio cliente/servidor (en informática).

Véase también

• Teorema del binomio
• Monomio
• Trinomio
• Polinomio

Referencias

Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN. 

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre binomio.