Ángulos de Euler

Este artículo trata de los ángulos de Euler de la teoría matemática de rotaciones. Para el uso de la palabra en aeronautica ver ángulos de navegación

Imagen estereoscópica de los ángulos de Euler

Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.

Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.

Definición

Dos sistemas ortogonales en el que se muestran los ángulos de Euler

Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos (α, β, γ) de tres maneras equivalentes, como sigue:

La definición es Estática, de acuerdo con el esquema adjunto:

• • α es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos.
  • β es el ángulo entre el eje z y el eje Z.
  • γ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X.

La intersección de los planos coordenados xy y XY se llama línea de nodos.

Relación con los movimientos de rotación

Rotaciones de Euler

Rotaciones de Euler de la tierra. Rotación intrinsica en verde, Precesión en azul y Nutación en rojo

Son los movimientos resultantes de variar uno de los ángulos de Euler dejando fijos los otros dos. Tienen nombres particulares:

• Precesión
• Nutación
• Rotación intrínseca

Otros sistemas de rotaciones equivalentes

Con unas condiciones iniciales determinadas, los ángulos de Euler son equivalentes a una composición de rotaciones

• Ejes de rotación fijos Sean los sistemas XYZ y xyz idénticos inicialmente.
  • Rotar el sistema XYZ alrededor del eje z en α; el sistema xyz no se mueve.
  • Rotarlo alrededor del eje x por β.
  • Rotarlo respecto al eje z por γ.

    (Note que el primero y el tercer ejes son idénticos.)

• Moviendo ejes de rotación Empezar con el sistema XYZ igual al sistema xyz.
  • Rotar el sistema XYZ respecto al eje Z en γ; el sistema xyz no se mueve.
  • Rotarlo respecto al ahora rotado eje X por β.
  • Rotarlo ahora respecto al doblemente rotado eje Z por α.

    (Nota que los ángulos están en orden inverso.)

Estos tres ángulos α, β, γ son los ángulos de Euler. La equivalencia de estas tres definiciones se verifica abajo.

Algunos autores denominan a los ángulos de Euler (α, β, γ) como (ψ, θ, φ)

Matrices de rotación

Soporte cardán mostrando ángulos de Euler. El marco externo y el eje externo 'x' no se muestran. Los ejes Y son perpendiculares a cada anillo

Basándonos en la relación entre los ángulos de Euler y el movimiento de los soportes de Cardano, podemos ver que todo sistema de coordenadas puede describirse con los tres ángulos de Euler. Si llamamos $[\mathbf {R} ]$ a la matriz de rotación tridimensional que representa la transformación de coordenadas desde el sistema fijo al sistema móvil, el teorema de Euler sobre rotaciones tridimensionales, afirma que existe una descomposición única en términos de los tres ángulos de Euler:

$[\mathbf {R} ]={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

La velocidad angular Ω de un sólido rígido expresada en términos de los ángulos de Euler viene dada por:

$[{\boldsymbol {\Omega }}]={\begin{Bmatrix}\Omega _{1}\\\Omega _{2}\\\Omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\dot {\phi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi \\{\dot {\phi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi \\{\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\end{Bmatrix}}$

Ángulos de Tait-Bryan

Artículo principal: Ángulos de navegación

Muchas veces en ingeniería aeronautica se utiliza el nombre de ángulos de Euler para hablar de los ángulos intrínsecos, que en geometría se conocen como ángulos de Tait-Bryan (por el matemático escocés Peter Guthrie Tait) A diferencia de los ángulos de Euler, los ángulos intrínsecos definen una rotación de forma única alrededor de cada uno de los ejes intrínsecos del objeto. Sin embargo, como ambas son formas de expresar la orientación de un cuerpo, existe una relación entre ellos; pudiéndose expresar unos en función de otros mediante una matriz de tranformación. Para transformar rotaciones de Euler en rotaciones intrínsecas esta matriz viene dada como:

[M]=

[1, 0, -sin(tita); 0, cos(fi), cos(tita)*sen(fi);0, -sen(tita), cos(tita)*cos(fi)]

Se denominan: "rolido" alrededor del eje X, "cabeceo" alrededor del eje Y, y "guiñada" alrededor del eje Z, pero suelen usarse también sus correspondientes nombres en inglés: "Roll", "Pitch" y "Yaw".

Esta forma de describir el movimiento se aplica fundamentalmente en ingeniería aeroespacial debido a la facilidad que representa expresar las ecuaciones de movimiento en coordenadas intrínsecas.

Algunas veces se los suele llamar incorrectamente "Ángulos de Euler", creando confusión con la terminología usada en matemática.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Ángulos de Euler.
• MathWorld page - some detailed discussion of various conventions