Diferencia entre revisiones de «Hipótesis de Poincaré»
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La '''Conjetura de Poincaré''' fue una de las [[hipótesis]] más importantes de la [[topología]], que dejó de ser conjetura para ser un teorema tras su comprobación. El teorema sostiene que la [[esfera tridimensional]], también llamada [[3-esfera]] o [[hiperesfera]], es la única [[variedad compacta (matemática)|variedad compacta]] tridimensional en la que todo lazo o [[círculo]] cerrado ([[1-esfera]]) se puede deformar (transformar) en un [[punto]]. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y [[simplemente conexa]] de dimensión 3, la [[esfera]] tridimensional. |
La '''Conjetura de Poincaré''' fue una de las [[Hipótesis (lógica)|hipótesis]] más importantes de la [[topología]], que dejó de ser conjetura para ser un teorema tras su comprobación. El teorema sostiene que la [[esfera tridimensional]], también llamada [[3-esfera]] o [[hiperesfera]], es la única [[variedad compacta (matemática)|variedad compacta]] tridimensional en la que todo lazo o [[círculo]] cerrado ([[1-esfera]]) se puede deformar (transformar) en un [[punto (geometría)|punto]]. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y [[simplemente conexa]] de dimensión 3, la [[esfera]] tridimensional. |
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== Matemático ruso Grigori Perelman rechaza premio de un millón de dólares == |
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viernes 2 de julio 2010, 12:30 PM |
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WASHINGTON (AFP) - El matemático ruso Grigori Perelman rechazó el premio de un millón de dólares otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas (CMI) por haber resuelto la "conjetura de Poincaré", un enigma que databa de 1904, señaló la prestigiosa organización en su página web. |
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"El doctor Perelman nos indicó que decidió rechazar el premio de un millón de dólares. En el otoño boreal de 2010, el CMI anunciará cómo la recompensa será utilizada en beneficio de las matemáticas", indicó el jueves el CMI en su sitio web. |
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El excéntrico matemático ya se había ausentado a una ceremonia en París organizada a recompensarlo por haber resuelto la "conjetura de Poincaré", un enigma que databa de 1904 y que durante más de un siglo ha apasionado a los especialistas. |
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Se trata de "un inmenso avance en matemáticas", subrayó el presidente del Instituto Clay de Matemáticas refiriéndose a la "conjetura de Poincaré". |
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La institución estadounidense dedicada a la difusión de las matemáticas había presentado en 2000 siete "problemas del milenario" prometiendo una recompensa de un millón de dólares a cambio de la solución de cada uno de ellos. |
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Sólo tres años después de lanzado el desafío y ante la sorpresa general, Grigori Perelman anunciaba la solución del problema planteado en 1904 por el francés Henri Poincaré, sobre el cual "había trabajado en secreto durante siete años", explicó Cédric Villani, director del Instituto Poincaré en Paris. |
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Ignorando las normas de la prensa científica, Perelman, de 43 años, había publicado su solución en un portal de internet. Sus resultados fueron después verificados por otros matemáticos. |
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Justamente por resolver este problema, Perelman había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas. Otro premio que también rechazó. |
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La Medalla Fields no era la primera recompensa, ni el primer rechazo de Perelman, de frente despejada, cabello castaño, barba y cejas pobladas y ojos azules. |
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El ex investigador de Berkeley (California), ganador del puntaje perfecto en la Olimpiada Internacional de Matematica a los 16 años, rechazó en 1996 el premio del Congreso Europeo de Matemáticas. |
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La Unión Matemática Internacional otorga la Medalla Fields -dotada de 9.500 euros- cada cuatro años desde 1936. Los galardonados son matemáticos menores de 40 años a los que se entrega el prestigioso premio con motivo de los CIM, que esta vez reúne en la capital española a unos 3.500 matemáticos de todo el mundo, del 22 al 30 de agosto. |
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El problema de Poincaré es una prueba que permite definir si una forma cualquiera es una esfera en tres dimensiones. La superficie de la tierra o una cáscara de naranja son esferas en dos dimensiones situadas en un espacio de tres dimensiones. |
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== Demostración de la conjetura == |
== Demostración de la conjetura == |
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Revisión del 16:16 13 ago 2010
La Conjetura de Poincaré fue una de las hipótesis más importantes de la topología, que dejó de ser conjetura para ser un teorema tras su comprobación. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional.
Concepto e historia
La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es simplemente conexa.
El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica) de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus homeomorfos).
Mas técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de la Matemática.
Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que Grigori Perelmán hizo pública su demostración.
Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartían sus propiedades.
Matemático ruso Grigori Perelman rechaza premio de un millón de dólares
viernes 2 de julio 2010, 12:30 PM WASHINGTON (AFP) - El matemático ruso Grigori Perelman rechazó el premio de un millón de dólares otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas (CMI) por haber resuelto la "conjetura de Poincaré", un enigma que databa de 1904, señaló la prestigiosa organización en su página web.
"El doctor Perelman nos indicó que decidió rechazar el premio de un millón de dólares. En el otoño boreal de 2010, el CMI anunciará cómo la recompensa será utilizada en beneficio de las matemáticas", indicó el jueves el CMI en su sitio web.
El excéntrico matemático ya se había ausentado a una ceremonia en París organizada a recompensarlo por haber resuelto la "conjetura de Poincaré", un enigma que databa de 1904 y que durante más de un siglo ha apasionado a los especialistas.
Se trata de "un inmenso avance en matemáticas", subrayó el presidente del Instituto Clay de Matemáticas refiriéndose a la "conjetura de Poincaré".
La institución estadounidense dedicada a la difusión de las matemáticas había presentado en 2000 siete "problemas del milenario" prometiendo una recompensa de un millón de dólares a cambio de la solución de cada uno de ellos.
Sólo tres años después de lanzado el desafío y ante la sorpresa general, Grigori Perelman anunciaba la solución del problema planteado en 1904 por el francés Henri Poincaré, sobre el cual "había trabajado en secreto durante siete años", explicó Cédric Villani, director del Instituto Poincaré en Paris.
Ignorando las normas de la prensa científica, Perelman, de 43 años, había publicado su solución en un portal de internet. Sus resultados fueron después verificados por otros matemáticos.
Justamente por resolver este problema, Perelman había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas. Otro premio que también rechazó.
La Medalla Fields no era la primera recompensa, ni el primer rechazo de Perelman, de frente despejada, cabello castaño, barba y cejas pobladas y ojos azules.
El ex investigador de Berkeley (California), ganador del puntaje perfecto en la Olimpiada Internacional de Matematica a los 16 años, rechazó en 1996 el premio del Congreso Europeo de Matemáticas.
La Unión Matemática Internacional otorga la Medalla Fields -dotada de 9.500 euros- cada cuatro años desde 1936. Los galardonados son matemáticos menores de 40 años a los que se entrega el prestigioso premio con motivo de los CIM, que esta vez reúne en la capital española a unos 3.500 matemáticos de todo el mundo, del 22 al 30 de agosto.
El problema de Poincaré es una prueba que permite definir si una forma cualquiera es una esfera en tres dimensiones. La superficie de la tierra o una cáscara de naranja son esferas en dos dimensiones situadas en un espacio de tres dimensiones.
Demostración de la conjetura
El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de Los siete problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet.[1]
El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa,[2] basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a Perelman y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma.
Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo.
Referencias
- ↑ Cornell University Library (en inglés)
- ↑ Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture (en inglés)
Véase también
Enlaces externos
- José Luis Tábara: La conjetura de Poincaré (235Kb).
- Maticias(2003). ¿Demostrada la Conjetura de Poincaré?
- Gaussianos(2006). Explicación del Teorema de Poincaré-Perelman
- El País.com [Vicente Miquel Molina](2006). La conjetura de Poincaré en el Congreso de Madrid
- El Tiempo.com/Ciencia(2006). Un matemático ruso rechazó la medalla Fields, el máximo galardón en matemáticas
- Noticia sobre la publicación de la demostración