Pendiente (matemática)

Pendiente de una carretera.

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "m" es el ángulo en radianes).

Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.

Definición de la pendiente

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra $m$, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).

Dados dos puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$, la diferencia en X es $x_{2}-x_{1}$, mientras que el cambio en Y se calcula como $y_{2}-y_{1}$. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Donde $m$ representa la pendiente entre el punto 1 y el punto 2. La cual representa la razón de cambio de y respecto a x, es decir si $(x)$ se incrementa en 1 unidad, $(y)$ se incrementa en $(m)$ unidades.

Geometría

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.

El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

$m=\tan \,\theta$

y

$\theta =\arctan \,m$

(ver Trigonometría).

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).

La pendiente en las ecuaciones de la recta

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

$y=mx+b\,$

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de $b$ puede ser interpretado como el punto donde la recta interseca al eje Y, es decir, el valor de $y$ cuando $x=0$. Este valor también es llamado ordenada al origen.

Si la pendiente $m$ de una recta y el punto $(x_{0},y_{0})$ de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\,$

Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente $m={\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12$. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada:

$y-8=12(x-2)=12x-24\Rightarrow y=12x-16$

La pendiente de la recta en la fórmula general:

$Ax+By+C=0\,$

está dada por: $-{\frac {A}{B}}$

Véase también

• Derivada
• Gradiente
• Lista de pendientes y deformaciones en vigas
• Trazado altimétrico