Forma cuadrática

Una forma cuadrática es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial $\scriptstyle x$ un número real, de una manera que generaliza la operación $\scriptstyle ax^{2}$ un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Definición formal

Una forma cuadrática es una aplicación $\omega$ del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica $\scriptstyle f(\cdot ,\cdot )$ de $\scriptstyle E\times E$ en el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {K}$ tal que $\scriptstyle \omega (x)=f(x,x)$. A $\scriptstyle f(\cdot ,\cdot )$ se le llama forma polar de $\scriptstyle \omega$.

b) $\scriptstyle \omega (lx)=l^{2}\omega (x)$, $\scriptstyle \forall l\in K,\forall x\in E$. Además $\scriptstyle f(x,y)=(\omega (x+y)-\omega (x)-\omega (y))/2$ es una forma bilineal simétrica definida en $\scriptstyle E\times E$ y con valores en $\scriptstyle \mathbb {K}$. A $\scriptstyle \omega$ se la llama forma cuadrática asociada a $\scriptstyle f(\cdot ,\cdot )$.

Una forma cuadrática es por tanto un aplicación $\scriptstyle f(x,x)=x\ B\ x$ que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.

Propiedades y ejemplos

• Cuando $\scriptstyle K=\mathbb {R}$ se dice que la forma cuadrática es real.
• Dos formas cuadráticas pueden ser:
  • Linealmente equivalentes en $\scriptstyle \mathbb {R}$ si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
  • Linealmente equivalentes en $\scriptstyle \mathbb {C}$ si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
  • Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
• Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.

Signatura

La signatura de una forma cuadrática $\scriptstyle q:V\to \mathbb {R}$ se llama al par $\scriptstyle (p,m)$ donde $\scriptstyle p$ es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a $\scriptstyle q$ y $\scriptstyle m$ los negativos. Se designa $\scriptstyle sg(q)$ y se verifica:

$p+m=rg(q)\,$

Representación gráfica

El el caso de que $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{2}$, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de cónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.