Lineal

La palabra lineal viene de la palabra latín linearis, que significa "creado por líneas".

Matemáticas (función lineal)

En matemáticas, una función lineal f(x) es aquella que satisface las siguientes dos propiedades (ver más abajo para un uso ligeramente diferente del término):

• Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

• Propiedad homogénea: f(ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

Para comprobar la linealidad de una función $f(x)$ no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$ la linealidad queda demostrada.

El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los vectores, espacios vectoriales (o espacios lineales), transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

Un uso ligeramente diferente del mencionado arriba, un polinomio de grado uno se dice que es lineal, porque la gráfica de la función es una línea recta. Sobre los reales una función lineal es de la forma

$F(x)=mx+b\,$

M es usualmente llamado la pendiente o el gradiente; b es la intercepción, la cual del punto de intersección entre la gráfica y el eje independiente.

Nótese que este uso del término "lineal" no es el mismo que el usado arriba, porque los polinomios lineales sobre los números reales generalmente no satisfacen la aditividad o la homogeneidad. De hecho los polinomios los cumplen solo cuando b = 0, la función entonces es llamada función afín (véase más general, transformación afín).

Física

En física, linealidad es una propiedad de las ecuaciones diferenciales que gobernan varios sistemas interesantes. Esta linealidad se encuentra por ejemplo en la teoría del potencial, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, la ecuación de la difusión y las ecuaciones de la elasticidad lineal.

En muchos problemas las ecuaciones de gobierno tienen la forma:

${\mathcal {L}}(u_{f})=f$

Donde u es algún tipo de mangitud física incógnita asociada a una cierta fuente f, y ${\mathcal {L}}(\cdot )$ es algún tipo de operador diferencial lineal. La linealidad del operador implica que si dos funciones f y g son dos funciones fuente distintas cuyas soluciones asociados son u_f y u_g, la solución asociada a la suma f + g viene dada por la suma de soluciones u_f+u_g. Esta propiedad permite descomponer un problema en subproblemas más sencillos de tal manera que la solución al problema original puede obtenerse como suma de las soluciones particulares de los subproblemas. La linealidad propiedad básica que deben poseer las ecuaciones para que sea aplicable el principio de superposición.

Electrónica

En Electrónica, la región de operación de un transistor es donde el emisor-colector de corriente está relacionado con la corriente de base por un simple factor a escala, permitiendo que el transistor sea usado como un amplificador de las señales eléctricas. También es usada de manera similar para describir regiones de cualquier función, matemática o física, que siguen una línea recta con una pendiente arbitraria.