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Diferencia entre revisiones de «Teorema del binomio»

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{{teorema|El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math>}}
{{teorema|El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math>}}
donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Usualmente TE ENOJAS
el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
{{teorema|<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.</math>}}
{{teorema|<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.</math>}}



Revisión del 00:37 22 nov 2009

En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

El coeficiente de en el desarrollo de es

donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:


Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absolutox/y | sea menor a uno.

Calcular Binomio

Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de forma sencilla:

         

Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Véase también