Movimiento de rotación

Rotación de la Tierra

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso. que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

Rotación en sólidos rígidos

Parece raro cuando se utiliza un sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los sólidos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del sólido a alterar su movimiento de rotación.

Para analizar el comportamiento cinemático de un sólido rígido debemos partir de la idea de que un angulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el sólido rígido (CR); este angulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.

Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:

${\vec {V}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Mientras que la aceleración quedaría definida por:

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

La energía cinética de rotación se escribe:

$E_{c}={\frac {1}{2}}\,\,{\vec {\omega }}\cdot \mathbb {I} \cdot {\vec {\omega }}$

siendo $\mathbb {I}$ la matriz de inercia.

La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así:

$\Delta E_{c}={\vec {M}}\cdot \Delta {\vec {\theta }}$

de modo que, la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado ($\Delta \theta$).

Transformaciones de rotación

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.

Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

$A={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}$

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .

En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

$R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$ .

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo $\theta$ en sentido antihorario: $RA=A'$, es decir

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{pmatrix}}$

donde $A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta$ y $A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta$ son las componentes del nuevo vector después de ser rotado.

Teorema de rotación de Euler

En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.

Composición de rotaciones en informática gráfica

En informática gráfica a veces existe cierta confusión sobre la interpretación de la composición de rotaciones en torno a los ejes (en el espacio euclídeo tridimensional), ya que la palabra 'ejes' puede referirse tanto a los ejes del sistema de referencia del mundo como a los ejes del sistema de referencia local.

Se explican desde 2 puntos de vistas: conceptual y teórico-mátemático en los 2 siguientes apartados.

Concepto de rotación y revolución

Aunque a la revolución también se le llama rotación, su uso ayuda a diferenciar claramente ambos conceptos.

• Rotación: Una rotación sobre el propio eje es una rotación cuyo centro es común al origen y al destino, es decir no existe desplazmiento del centro del objeto.

  

  Ejemplo de rotación

En el caso de la rotación, la matriz de rotación debe calcularse antes que la de desplazamiento (cuando además de rotación se realizara desplazamiento). Para un cálculo preciso y libre de fallos hay que traer el objeto a las cordenadas globales 0,0,0 y rotarlo, luego desplazarlo nuevamente a sus coordenadas de origen. Todo ello es un cálculo de matrices previos al cálculo de punto por punto (de cada uno de los vértices que forman el objeto).

Un ejemplo de rotación es como se muestra en la imagen una esfera rotando sobre su propio eje.

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• Revolución: Una rotación sobre el eje del medio circundante es a la vez un desplazamiento del objeto y una rotación sobre sí mismo.

Ejemplo de revolución

En ambos casos el radio (la distancia al centro del objeto) respecto del eje del medio circundante no varía

Deben por tanto, considerarse distintas la rotación y la revolución. El cálculo de ambas rotaciones se diferencia en aplicar antes o después la matriz de desplazamiento respecto de la matriz de rotación.

Un ejemplo de resolución es como se muestra en la imagen la rotación de la Luna alrededor de la Tierra.

Nota: El traer un objeto al origen del medio (0,0,0) sólo es aplicable si los valores a aplicar son absolutos, si son relativos (los nuevos valores son un incremento), a los valores actuales esto no es necesario.

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• Un ejemplo: para comprender y diferenciar claramente ambos casos puede recurrirse a colocar una pelota sobre una mano, sobre la pelota pintamos un punto en el centro de lo que vemos y un punto sobre la pared en esa trayectoria. Para el caso de la rotación giramos la pelota sobre si misma 90º y vemos que la línea de nuestros ojos sobre la pared ya no está orientado sobre el punto de la pelota. Para el caso de la revolución quien gira 90º somos nosotros permaneciendo la pelota inmóvil, puesto que la pelota está en nosotros (el medio circundante o mundo) , el efecto real es que las variaciones efectuadas sobre nosotros se aplican a la vez a la pelota ( y a todos los demás objetos que hubiere). ahora al trazar la trayectoria de nuestros ojos, aquel que permanece en línea es la pelota, no así el punto de la pared. Aunque en ambos casos hemos girado 90º (en la misma dirección) y la orientación del punto sobre la pelota y un punto inmóvil: el de la pared, es el mismo en ambos casos, la posición final real de la pelota es diferente.

  

  Rotación de un plano: el eje es el punto rojo

La rotación puede entenderse como si lo trajéramos al centro de nosotros lo giráramos y luego le desplazáramos a sus coordenadas de origen.

La revolución es como invertir el orden de cálculo de las matrices primero lo traemos al centro, y lo desplazamos a su nuevo destino, previamente ya rotamos el mundo, la consecuencia es que a todos los objetos le corresponde un nueva posición de desplazamiento que se efectúa individualmente. A efectos prácticos se abrevia (llevarlo a su desplzamiento y volverlo a traer al centro) y como se explica en el ejemplo se calculan todas las transformaciones mediante las matrices previamente a ningún cálculo final de vértices. Sería costoso en tiempo aplicar paso a paso cada operación a todos los vértices.

Rotación y revolución: punto de vista teórico-matemático

En informática gráfica a veces existe cierta confusión sobre la interpretación de la composición de rotaciones en torno a los ejes (en el espacio euclídeo tridimensional), ya que la palabra 'ejes' puede referirse tanto a los ejes del sistema de referencia del mundo como a los ejes del sistema de referencia local asociado a un objeto que sufre varias rotaciones (por tanto, estos ejes locales van cambiando con sucesivas rotaciones). Estas dos interpretaciones llevan a matrices de rotación distintas, y por tanto, si no se concreta, la mera referencia a una "composición de rotaciones en torno a los ejes" puede resultar ambigua.

Además, la rotación en torno a los ejes locales es aparentemente más compleja de expresar como una matriz que la rotación en torno a los ejes del sistema de referencia del mundo (SRM). Por otro lado, las rotaciones en torno a los ejes globales pueden provocar lo que se conoce como "Gimbal Lock". Sin embargo, como se demuestra más abajo, la obtención de ambas matrices es igual de sencilla, por lo tanto, para evitar el Gimbal Loack, podemos usar fácilmente las rotaciones en torno a los ejes locales.

Por ejemplo, supongamos que deseo rotar un objeto un ángulo $\mathbf {} \alpha$ en torno al eje $\mathbf {x}$, después, un ángulo $\mathbf {} \beta$ en torno al eje $\mathbf {y}$, y, finalmente, un ángulo $\mathbf {} \gamma$ en torno al eje $\mathbf {z}$.

Supongamos que en todos los casos hablamos de rotaciones en torno a los ejes fijos del sistema de coordenadas del mundo. En este caso, la matriz de rotación $\mathbf {} M_{1}$ se obtiene como composición de otras tres, una por cada rotación:

$\mathbf {} M_{1}~=~R[\mathbf {x} ,\alpha ]\cdot R[\mathbf {y} ,\beta ]\cdot R[\mathbf {z} ,\gamma ]$

donde la expresión

$\mathbf {} R[\mathbf {u} ,a]$

hace referencia a la matriz de rotación de $a\,\!$ radianes en torno a un vector $\mathbf {u} \,\!$ arbitrario. Nótese que la expresión $A\cdot B\,\!$ expresa la matriz resultado de la composición de las matrices $A\,\!$ y $B\,\!$, donde el efecto de aplicar $\mathbf {} A\cdot B$ a un vector $\mathbf {v} \,\!$ es igual al efecto de aplicar primero $A\,\!$ y después $B\,\!$ a dicho vector, es decir, por definición:

$(A\cdot B)\mathbf {v} ~=~B(A\mathbf {v} )\,\!$

Supongamos ahora que intepretamos las rotaciones como rotaciones en torno a los ejes locales. La correspondiente matriz $M_{2}\,\!$ es ahora:

$M_{2}~=~R[\mathbf {x} ,\alpha ]\cdot R[\mathbf {y} ',\beta ]\cdot R[\mathbf {z} '',\gamma ]\,\!$

donde

${\begin{matrix}\mathbf {y'} &=&R[\mathbf {x} ,\alpha ]\,\mathbf {y} \\\mathbf {z'} &=&R[\mathbf {x} ,\alpha ]\,\mathbf {z} \\\mathbf {z''} &=&R[\mathbf {y} ,\beta ]\,\mathbf {z'} \\\end{matrix}}$

Por tanto, $M_{2}\,\!$ evita el Gimbal Lock pero es más compleja de obtener, puesto que está expresada en términos de rotaciones en torno a vectores que no coinciden con los ejes. Sin embargo, en realidad esto no es así, puesto que se puede demostrar que:

$M_{2}~=~R[\mathbf {z} ,\gamma ]\cdot R[\mathbf {y} ,\beta ]\cdot R[\mathbf {x} ,\alpha ]\,\!$

es decir, $M_{2}\,\!$ puede escribirse como composición respecto de los ejes del sistema de referencia del mundo, solo que en este caso la composición debe hacerse en el orden contrario respecto al orden que queremos para las rotaciones en torno a los ejes locales.

Para demostrar esta igualdad basta con aplicar dos propiedades de las matrices de rotación. La primera es que una rotación de un cierto angulo obviamente se cancela si se compone con otra rotación igual pero con el ángulo cambiado de signo, es decir:

$R[\mathbf {u} ,a]\cdot R[\mathbf {u} ,-a]~~=~~I\,\!$

donde $I\,\!$ es la matriz identidad. La otra propiedad que se usará es esta:

$R[R[\mathbf {u} ,a]\mathbf {v} ,b]~~=~~R[\mathbf {u} ,-a]\cdot R[\mathbf {v} ,b]\cdot R[\mathbf {u} ,a]\,\!$

que se cumple para cualesquiera vectores $\mathbf {u} \!\!$ y $\mathbf {v} \!\!$ y ángulos $a\,\!$ y $b\,\!$. Significa que, para rotar en torno al vector $\mathbf {v} '=R[\mathbf {u} ,a]\,\!$ (que es $\mathbf {v} \,\!$ rotado en torno a $\mathbf {u} \,\!$), podemos: (1) deshacer la rotación en torno a $\mathbf {u} \,\!$, (2) hacer la rotación en torno al vector original $\mathbf {v} \,\!$, y (3) rehacer de nuevo la rotación en torno a $\mathbf {u} \,\!$.

Aplicando esta última propiedad varias veces en el orden adecuado (y cancelando las rotaciones complementarias que aparecen) podemos demostrar fácilmente que la segunda expresión de $M_{2}\,\!$ se deriva de la definición original.

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Se adjunta una imagen para demostración de artificios 3D, partiendo de una imagen 2D, que no tiene nada que ver con la rotación, aunque el efecto final parezca ser así, pués el resultado consiste en pegar partes definidas a un área restringida una detrás de otra. Es una ilusión óptica que nuestro cerebro interpreta como una rotación de acuerdo a los datos que sobre el objeto (la cabeza) retiene nuestra memoria.

Resultado

Imagen original de la composición

Véase también

• Cinemática del sólido rígido
• Movimientos de la Tierra
• Nutación
• Precesión
• Traslación
• Bamboleo de Chandler
• Anexo:Velocidad de los planetas del sistema solar