Modelo atómico de Schrödinger

Densidad de probabilidad de ubicación de un electrón para los primeros niveles de energía.

El modelo atómico de Schrödinger es un modelo cuántico no relativista. Se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático con simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide.

El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían energías ligeramente diferentes. Esto no tenía explicación en el modelo de Bohr, y sugería que se necesitaba alguna corrección. La propuesta fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles. La forma concreta en que surgieron de manera natural estos subniveles, fue incorporando órbitas elípticas y correcciones relativistas. Así, en 1916, Arnold Sommerfeld modificó el modelo atómico de Bohr, en el cual los electrones sólo giraban en órbitas circulares, al decir que también podían girar en órbitas elípticas más complejas y calculó los efectos relativistas.

Características del modelo

El modelo atómico de Schrödinger concebía originalmente los electrones como ondas de materia. Así la ecuación se interpretaba como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el tiempo y el espacio de dicha onda material. Más tarde Max Born propuso una interpretación probabilística de la función de onda de los electrones. Esa nueva interpretación es compatible con los electrones concebidos como partículas cuasipuntuales cuya probabilidad de presencia en una determinada región viene dada por la integral del cuadrado de la función de onda en una región.

El modelo atómico de Schrödinger predice adecuadamente las líneas de emisión espectrales, tanto de átomos neutros como de átomos ionizados. E igualmente predice adecuadamente la modificación de los niveles energéticos cuando existe un campo magnético o eléctrico (efecto Zeeman y efecto Stark respectivamente). Además, con ciertas modificaciones semiheurísticas el modelo explica el enlace químico y la estabilidad de las moléculas. Cuando se necesita una alta precisión en los niveles energéticos puede emplearse un modelo similar al de Schrödinger, pero donde el electrón es descrito mediante la ecuación relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuación de Schrödinger.

Sin embargo, el nombre de "modelo atómico" de Schrödinger puede llevar a confusión ya que no explica la estructura completa del átomo. El modelo de Schrödinger explica sólo la estructura electrónica del átomo y su interacción con la estructura electrónica de otros átomos, pero no explica como es el núcleo atómico ni su estabilidad.

Solución de la ecuación de Schrödinger

Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger en un campo central electrostático, están caracterizadas por tres números cuánticos (n, l, m) que a su vez están relacionados con lo que en el caso clásico corresponderían a las tres integrales del movimiento independientes de una partícula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas en coordenadas esféricas por:

$\psi _{nlm}(\theta ,\phi ,r)={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}}2}}e^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )\cdot Y_{l,m}(\theta ,\phi )$

donde:

$\rho ={2r \over {na_{0}}}$

$a_{0}$ es el radio de Bohr.

$L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )$ son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.

$Y_{l,m}(\theta ,\phi )\,$ es el armónico esférico (l, m).

Los autovalores son:

Para el operador momento angular:

$L^{2}|n,l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|n,l,m\rangle$

$L_{z}|n,l,m\rangle =\hbar m|n,l,m\rangle$

Para el operador hamiltoniano:

$H|n,l,m\rangle =E_{n}|n,l,m\rangle$

donde:

$E_{n}=-{{mc^{2}Z^{2}\alpha ^{2}} \over {2\cdot n^{2}}}=-{{m \over 2\hbar ^{2}}\left({Ze^{2} \over 4\pi \epsilon _{0}}\right)^{2}{1 \over n^{2}}}$

α es la constante de estructura fina con Z=1.

Véase también

• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Modelo atómico de Thomson
• Modelo atómico de Rutherford
• Modelo atómico de Bohr
• Modelo atómico de Sommerfeld