Diferencia entre revisiones de «Radicación»

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Revisión del 22:39 26 ago 2009

Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x → xⁿ define una biyección de $\mathbb {R}$ hacia $\mathbb {R}$ si $''n''$ es impar, y hacia $\mathbb {R} ^{+}=[0,\infty )$ si $''n''$ es par.
Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función recíproca, y se puede anotar de formas:

$y={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$ .

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

$a=b^{n}\iff b={\sqrt[{n}]{a}}$ .

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala:

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: ${\sqrt {x}}$ en vez de ${\sqrt[{2}]{x}}$ .
La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {\ln {x}}{n}}\right)={e^{\frac {\ln x}{n}}}$ .

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar ${\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{5}]{x}}...$ a los números positivos.

Propiedades

Como se indica con la igualdad $y={\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{m/n}$ , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.

Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Véase también

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-raiz  cuadrada kkkk
 Sea ''n'' un [[número natural]] no nulo. La función ([[potenciación]]) x → x<sup>n</sup> define una biyección de <math>\mathbb{R}</math> hacia <math>\mathbb{R}</math> si <math>''n''</math> es impar, y hacia <math>\mathbb{R}^+ = [0,\infty)</math> si <math>''n''</math> es par.<br />
 Se llama '''enésima raíz''', o '''raíz de orden n''' su [[función recíproca]], y se puede anotar de formas: