Movimiento armónico simple

La pelota azul describe un movimiento armónico simple.

Se dice que una masa sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando oscila alrededor de un punto de tal manera que la fuerza total que se ejerce sobre ella es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste. Su posición en función del tiempo es una sinusoide, de manera que se trata de un movimiento periódico de vaivén, en el que el cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y con un periodo constante.

Cinemática del movimiento armónico simple

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple

Ecuación del movimiento

Posición

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento $x$ de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que $F_{x}=-kx$ donde $k$ es una constante positiva y $x$ la elongación, es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

Siendo $\scriptstyle m$ la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo $\scriptstyle \omega ^{2}=k/m$ se obtiene la siguiente ecuación donde $\omega$ es la frecuencia angular del movimiento:

(*)${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a(t)=-\omega ^{2}x$

Una solución de la ecuación diferencial (*) es;

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\qquad A,\omega \in \mathbb {R} ^{+},\phi \in [0,2\pi )$

donde:

$x\,$: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.

$A\,$: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio).

$\omega \,$: es la frecuencia angular

$t\,$: es el tiempo que determina el movimiento.

$\phi \,$: recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$, y por lo tanto el periodo como $T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión $x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\,$.

Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

(2)$v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}=-\omega A\cos(\omega t+\phi )\qquad$

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(3)$a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x(t)$

Amplitud

Es posible calcular la amplitud $A$ del movimiento conociendo su posición $x_{0}$ y velocidad $v_{0}$ iniciales. La amplitud se puede calcular entonces teniendo:​

$x_{0}=A\cos \phi \Rightarrow x_{0}^{2}=A^{2}\cos ^{2}\phi$

$v_{0}=-\omega A\sin \phi \Rightarrow v_{0}^{2}=\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}\phi \Rightarrow {\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}\sin ^{2}\phi$

Sumando las dos ecuaciones:

$x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=A^{2}$

Y finalmente: $A={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Fase

La fase inicial $\phi \,$ también puede ser calculada a partir de los mismos valores iniciales $x_{0}$ y $v_{0}$:

Dividiendo $v_{0}=-\omega A\sin \phi$ entre $x_{0}=A\cos \phi$ se obtiene ${\frac {v_{0}}{x_{0}}}={\frac {-\omega A\sin \phi }{A\cos \phi }}=-\omega \tan \phi$ y finalmente $\phi =\arctan \left(-{\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)$

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E_p) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (E_c) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

$E_{p}+E_{c}=E_{m}\,$

Esta última magnitud $E_{m}$ recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(6)$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos $x=-A$ y $x=A$. Se obtiene entonces que,

$E_{m}=E_{p}+E_{c}={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M172​) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación $T$ electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\quad \Rightarrow \quad m=\left({\frac {T}{2\pi }}\right)^{2}k$

Péndulo simple

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

En el caso del péndulo simple, una masa puntual unida a un hilo inextensible sin masa, la masa se desplaza según el arco de una circunferencia de radio igual a la longitud $L$ del hilo. Estando la masa sometida a la fuerza de la gravedad y a la tensión ejercida por el hilo, la fuerza tangencial que experimenta al desplazarse del equilibrio según la trayectoria $x$ viene dada por $F=-mg\sin \theta$, siendo $\theta$ el ángulo que forma el hilo en cada momento con la vertical.

Esta fuerza $F$ no es proporcional a $\theta$, sino a $\sin \theta$, por lo que realmente no se puede decir que este movimiento es un movimiento armónico simple. Sin embargo, para valores en radianes de $\theta$ pequeños se tiene que $\sin \theta \approx \theta$, y entonces, teniendo además $\theta ={\frac {x}{L}}$ se puede considerar que la fuerza $F$ ejercida sobre la masa es proporcional a la coordenada $x$, y que por lo tanto la masa describe un movimiento armónico simple para oscilaciones pequeñas. $F$ es entonces:

$F=-mg\theta =-mg{\frac {x}{L}}=-{\frac {mg}{L}}x$

Por lo tanto, la constante de fuerza se escribe $k={\frac {mg}{L}}$ y así se puede expresar la frecuencia angular $\omega$ como

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}={\sqrt {\frac {\frac {mg}{L}}{m}}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}$

Finalmente, se pueden expresar el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del péndulo para oscilaciones pequeñas:

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{L}}}$

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

Véase también

• Péndulo simple
• Oscilador armónico
• Movimiento circular uniforme
• Cinemática
• Derivada
• Integración
• Movimiento armónico complejo