Ley de elasticidad de Hooke

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

$\epsilon ={\frac {\delta }{L}}={\frac {F}{AE}}$

Donde δ: alargamiento longitudinal, L: Longitud original, E: módulo de Young o módulo de elasticidad, A: sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite de elasticidad.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida por el resorte con la distancia adicional δ producida por alargamiento del siguiente modo:

$F=-k\delta \,$, siendo $k={\frac {AE}{L}}$

Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y $\Delta x$ es la separación de su extremo respecto a su longitud natural, A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica $U_{k}$ asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

$U_{k}={\frac {1}{2}}k{\delta }^{2}$

Es importante notar que la $k$ antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando $k$ por la longitud total, y llamando al producto $k_{i}$ o k intrínseca, se tiene:

$k_{i}=AE\,$

donde $k={\frac {k_{i}}{L}}$

Llamaremos $F(x)$ a la fuerza que soporta una sección del muelle a una distancia x del origen de coordenadas, $k_{\Delta x}$ a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud $\Delta x$ a la misma distancia y $\delta _{\Delta x}$ al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza $F(x)$. Por la ley del muelle completo:

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}$

Tomando el límite:

$F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}$

que por el principio de superposición resulta:

$F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}$

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente puede considerarse F(x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F(x) no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de éste, se llega a la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

$c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

Ley de Hooke en sólidos elásticos

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

$\sigma _{ij}=\sum _{k,l}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,$

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ₁₁, ε = ε₁₁, C₁₁ = E y la ecuación anterior se reduce a:

$\sigma =E\epsilon \,$

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

$\epsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{xx}-\nu (\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\right)\qquad \epsilon _{xy}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xy}$

$\epsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{yy}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{zz})\right)\qquad \epsilon _{yz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{yz}$

$\epsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{zz}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)\qquad \epsilon _{xz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xz}$

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

${\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&&&\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&&&\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}\\&&&{\frac {1+\nu }{E}}&0&0\\&&&0&{\frac {1+\nu }{E}}&0\\&&&0&0&{\frac {1+\nu }{E}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}$

Las relaciones inversas vienen dadas por:

${\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{pmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&&&\\{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&&&\\{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&&&\\&&&1&0&0\\&&&0&1&0\\&&&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}$

Véase también

• Prueba de tensión
• Constante elástica