Sumatorio

Un sumatorio o sumatoria es un operador matemático que nos permite representar sumas muy grandes, ya sea de n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma ( $\Sigma$ ), y se define como :

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}$

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse:

$m\leq n$

Por ejemplo si queremos expresar la suma de los diez primeros números naturales podemos hacerlo así con un sumatorio:

$\sum _{i=1}^{10}i$

Los sumatorios son útiles para expresar sumas arbitrarias de números, por ejemplo en fórmulas. Así, si queremos representar la «fórmula» para hallar la media aritmética de n números, tendremos la siguiente expresión:

${\overline {X}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$

Algunos sumatorios

1. $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$
2. $\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
3. $\sum _{i=0}^{5}(i+1)=1+2+3+4+5+6$
4. $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$
5. $\sum _{i=1}^{n}a=\underbrace {(a+a+a+\ldots +a)} _{n\,veces}=na$
6. $\sum _{j=0}^{n}a^{j}=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots +a^{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}$
7. $\sum _{k=1}^{n}a^{k}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}\ldots +a^{n}={\frac {a^{n+1}-a}{a-1}}$
8. $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a^{i}}}={\frac {a^{n}-1}{a^{n+1}-a^{n}}}$
9. $\sum _{k=1}^{n}ak=a+2a+3a+\ldots .+na=a\sum _{k=1}^{n}k$
10. $\sum _{i=0}^{n}i=0+\sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i$
11. $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\neq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}$
12. $\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{j=1}^{m}y_{j}\right)$

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