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Revisión del 20:40 18 may 2009

Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará.

Cinemática del movimiento armónico simple

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento $x$ de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que $F_{x}=-kx$ donde $k$ es una constante positiva y $x$ la elongación, es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia el centro).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$ siendo $m$ la masa del cuerpo en desplazamiento.

Escribiendo $\scriptstyle \omega ^{2}=k/m$ se obtiene la siguiente ecuación donde $\omega$ es la frecuencia angular del movimiento:

(*) ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a(t)=-\omega ^{2}x$

Una solución de la ecuación diferencial (*) es;

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi )\qquad A,\omega \in \mathbb {R} ^{+},\phi \in [0,2\pi )$

donde:

x\,

: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.

A\,

: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio).

\omega \,

: es la frecuencia angular; se mide en radianes / segundo.

t\,

: Es el tiempo, en segundos, que determina el movimiento.

\phi \,

: recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como $f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ , y por lo tanto el periodo como $T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ .

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$ .

Posición de la partícula

La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por su ecuación del movimiento: En física, una ecuación de movimiento es una ecuación diferencial que explica cómo es la evolución temporal de un sistema físico. Esta ecuación relaciona la derivada temporal de una o varias variables que caracterizan el estado físico del sistema, con otras magnitudes físicas que provocan el cambio en el sistema.

(1) $x(t)=A\,\cos(\omega t+\phi )\,$

Las características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función coseno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
La función coseno es periódica y se repite cada $2\pi$ , por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en $2\pi$ , es decir, cuando transcurre un tiempo $P=2\pi /\omega \,$ .

Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición respecto al tiempo:

(2) $v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}=-\omega A\sin(\omega t+\phi )\qquad$

En este punto, es posible calcular la amplitud A y la fase incial $\phi$ del movimiento conociendo su posición $x_{0}$ y velocidad $v_{0}$ iniciales. La amplitud se puede calcular entonces teniendo:^[1]

$x_{0}=A\cos \phi \Rightarrow x_{0}^{2}=A^{2}\cos ^{2}\phi$

$v_{0}=-\omega A\sin \phi \Rightarrow v_{0}^{2}=\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}\phi \Rightarrow {\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}\sin ^{2}\phi$

Sumando las dos ecuaciones:

$x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=A^{2}$

Y finalmente: $A={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Igualmente, la fase inicial también puede ser calculada a partir de los mismos valores iniciales:

Dividiendo $v_{0}=-\omega A\sin \phi$ entre $x_{0}=A\cos \phi$ se obtiene ${\frac {v_{0}}{x_{0}}}={\frac {-\omega A\sin \phi }{A\cos \phi }}=-\omega \tan \phi$ y finalmente $\phi =\arctan \left(-{\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)$

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(3) $a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\cos(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x(t)$

Ecuación del movimiento

Comparando la ecuación (1) y (3) que la aceleración tiene una relación opuesta a la posición y se podría poner:

(4) $a(t)=-\omega ^{2}x(t)\Rightarrow {\frac {F(x)}{m}}=-\omega ^{2}x$

La aceleración depende de $\omega$ y de la posición de la partícula $x\,$ , dado que $\omega$ es constante, la aceleración y, por tanto, también la velocidad centripeta, varían únicamente con la posición de la partícula, lo cual lleva a la conclusión de que la que lo provoca es una fuerza conservativa. La ecuación del movimiento se suele escribir como:

(5) $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-F(x)=0\quad \Rightarrow \quad m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+m\omega ^{2}x(t)=0$

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E_p) asociado a la fuerza, que sumado con la energía cinética (E_c) permanece invariable al moverse es una constante del movimiento:

$E=E_{p}+E_{c}\,$

Esta última magnitud recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(6) $E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos $x=-A$ y $x=A$ . Se obtiene entonces que,

$E=E_{p}+E_{c}={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M172^[2]) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación $T$ electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\quad \Rightarrow \quad m=\left({\frac {T}{2\pi }}\right)^{2}k$

Péndulo simple

En el caso del péndulo simple, una masa puntual unida a un hilo inextensible sin masa, la masa se desplaza según el arco de una circunferencia de radio igual a la longitud $L$ del hilo. Estando la masa sometida a la fuerza de la gravedad y a la tensión ejercida por el hilo, la fuerza tangencial que experimenta al desplazarse del equilibrio según la trayectoria $x$ viene dada por $F=-mg\sin \theta$ , siendo $\theta$ el ángulo que forma el hilo en cada momento con la vertical.

Esta fuerza $F$ no es proporcional a $\theta$ , sino a $\sin \theta$ , por lo que realmente no se puede decir que este movimiento es un movimiento armónico simple. Sin embargo, para valores en radianes de $\theta$ pequeños se tiene que $\sin \theta \approx \theta$ , y entonces, teniendo además $\theta ={\frac {x}{L}}$ se puede considerar que la fuerza $F$ ejercida sobre la masa es proporcional a la coordenada $x$ , y que por lo tanto la masa describe un movimiento armónico simple para oscilaciones pequeñas. $F$ es entonces:

$F=-mg\theta =-mg{\frac {x}{L}}=-{\frac {mg}{L}}x$

Por lo tanto, la constante de fuerza se escribe $k={\frac {mg}{L}}$ y así se puede expresar la frecuencia angular $\omega$ como

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}={\sqrt {\frac {\frac {mg}{L}}{m}}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}$

Finalmente, se pueden expresar el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del péndulo para oscilaciones pequeñas:

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{L}}}$

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

Véase también

Referencias

↑ Sears, Francis W.; Zemansky, Young, Freedman (2004). Física universitaria, vol. I (11ª edición edición). Pearson. pp. 484-485. ISBN 970-26-0511-3.
↑ NASA. «Mass Measurements Aboard Space Station Skylab».

[sears-1] Sears, Francis W.; Zemansky, Young, Freedman (2004). Física universitaria, vol. I (11ª edición edición). Pearson. pp. 484-485. ISBN 970-26-0511-3.

[2] NASA. «Mass Measurements Aboard Space Station Skylab».

[1]

[2]

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 == Cinemática del movimiento armónico simple ==
+La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento <math>x</math> de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que <math>F_{x} = - k x</math> donde <math>k</math> es una constante positiva y <math>x</math> la [[elongación]], es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia el centro).
-La base de un lARRY FERNANDO
-movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento <math>x</math> de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que <math>F_{x} = - k x</math> donde <math>k</math> es una constante positiva y <math>x</math> la [[elongación]], es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia el centro).
 Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la [[ecuación diferencial]] <math> m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x</math> siendo <math>m</math> la masa del cuerpo en desplazamiento.