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Línea 6: |
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== Diferenciación == |
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== Diferenciación == |
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Para poder derivar una (¡Crepusculo!)función implícita se usa la [[Regla de la cadena]], en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: |
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Para poder derivar una función implícita se usa la [[Regla de la cadena]], en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: |
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Dada una función <math> F(x,y) \,</math>, implícita, si queremos calcular la derivada de '''y''' respecto de '''x''': <math> \frac{dy}{dx} = f'(x) </math>. |
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Dada una función <math> F(x,y) \,</math>, implícita, si queremos calcular la derivada de '''y''' respecto de '''x''': <math> \frac{dy}{dx} = f'(x) </math>. |
Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de
entre las variables x e y:
![{\displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c747e73f160d8b54a83f9a31ac1d12e9161acf)
Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función
, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:
.
Si consideramos
es una función en términos de la variable independiente x y
es una función en términos de la variable dependiente y, dado que
, entonces para obtener la derivada:
![{\displaystyle D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(x\right)\left(f'\left(x\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0442714399a09ea18a2828baa0d3a926eda3ad3c)
Ejemplo
Obtener la derivada de:
![{\displaystyle 6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03593d68f5366c364cf5b47fa1ff9cfd528460e8)
El término
Se puede considerar que son dos funciones,
y
por lo que se derivara como un producto:
![{\displaystyle D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c687a8f7caaa620e78ccb7172386e344c2429408)
El término
se deriva como:
![{\displaystyle D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8869f901e5c8e180a94ed3defe0f22d592edd4)
El término
se deriva de forma normal como:
![{\displaystyle D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556f8a4b1c6357c519d7852aa50780034afb85f8)
El valor constante 12, que no depende ni de x no de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
![{\displaystyle D_{x}\left(12\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428bf787a204c774176b9b5603c18da20aa20c90)
Para el término
se puede considerar como un producto y se deriva como:
![{\displaystyle D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e67a2cf2ba1405a765660b4f2063c5c0d73f1ff)
Al unir todos los términos se obtiene:
![{\displaystyle 12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a419c9e6397c5aebcb2e7f171145bc5d1459cbd5)
Ordenando
![{\displaystyle 6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071affd5c708d56aa85da4ba8a4d178fbf74b26e)
Agrupando los valores se obtiene:
![{\displaystyle \left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f15fdb715b9d97c4eca53df747a0d7241f3df31)
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de6bd8e7cf78eb33045c22d5b466397d729f82)
Véase también