Número decimal periódico

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Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras repetitivas hasta el infinito, sin ser todas cero.
  • Ejemplo: $34,555\dots =34,{\overset {\frown }{5}}$, donde 5 es la cifra que se repite infinitamente.
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí lo hacen, sin ser todas cero.
  • Ejemplo: $1,91222\dots =1,91{\overset {\frown }{2}}$, donde 91 son las cifras que no se repiten pero sí lo hace el 2.

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\begin{array}{c}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,074074074074...\\{\cfrac {7}{12}}=0,583333333333...\end{array}}$

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

${\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\10x-x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\end{array}}$

$10x-x=3\;,\quad 9x=3\;,\quad x={\cfrac {3}{9}}\;,\quad x={\cfrac {1}{3}}\;,\quad {\text{(simplificando)}}$

Otro ejemplo:

$x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571\cdot 18}{550\cdot 18}}={\frac {1571}{550}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

$11,36\ 36\dots ={\frac {1136-11}{99}}={\frac {1125}{99}}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

$12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}$

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\cfrac {7}{20}}$

como:

$20=2\cdot 2\cdot 5$

será exacta; en efecto

${\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35$

Otro ejemplo:

${\cfrac {7}{25}}$

como:

$25=5\cdot 5$

será exacta; en efecto:

${\cfrac {7}{25}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}\;{\cfrac {2\cdot 2}{2\cdot 2}}={\cfrac {7\cdot 2\cdot 2}{(5\cdot 2)(5\cdot 2)}}={\cfrac {28}{100}}=0,28$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

${\cfrac {5}{21}}$

como:

$21=3\cdot 7$

será periódica pura; en efecto:

${\cfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

${\cfrac {5}{42}}$

como:

$42=2\cdot 3\cdot 7$

será periódica mixta, en efecto:

${\cfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 1904767\dots$

Véase también

• 0,9 periódico
• Representación decimal

Clasificación de los números Complejos $:\;\mathbb {C}$ Reales $:\;\mathbb {R}$ Racionales $:\;\mathbb {Q}$ Enteros $:\;\mathbb {Z}$ Naturales $:\;\mathbb {N}$ Uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Bibliografía

• Jiménez Hernández, José de Jesús. Matemáticas 1. Ediciones Umbral. p. 66. 

• Datos: Q389208