Producto notable

Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables.

Los productos notables están relacionados con las fórmulas de factorización estudiadas en los primeros cursos de álgebra, ya que cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, el producto de binomios conjugados corresponde a la regla de factorización de diferencia de cuadrados.

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c(a+b)=ca+cb\$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

$3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy$

Binomio al cuadrado

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\quad$

un trinomio de la forma $a^{2}+2ab+b^{2}$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo la fórmula que se obtiene es

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.\quad$

Ejemplo:

$(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+(-3y)^{2}+2(2x)(-3y)=4x^{2}-12xy+9y^{2}$

Producto de binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,$

Ejemplo:

$(3x+4)(3x-7)=(3x)^{2}+(4-7)x+(4)(-7)=9x^{2}-3x-28$

Binomios conjugados

Producto de binomios conjugados

Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\quad$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y)=(3x)^{2}-(5y)^{2}=9x^{2}-25y^{2}$

Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+ab)$

$(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

Ejemplo:

$(3x+2y-5z)=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz$

Binomio al cubo

Descomposición visual del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suman los cubos de los términos con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

Cuando la operación del binomio es resta, se puede reescribir como

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$

Ejemplo

$(x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}$

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

Suma de cubos

$(a+b)(a^{2}-ab+ab)=a^{3}+b^{3}$

Resta de cubos

$(a-b)(a^{2}+ab+ab)=a^{3}-b^{3}$

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo). La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas

$(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})=a^{n}+b^{n}$

aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.

Diferencia de potencias n-ésimas

$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el Teorema de Newton.

Referencias

Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN.