Espacio vectorial topológico ordenado

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y en la teoría del orden, un espacio vectorial topológico ordenado, también llamado EVT ordenado, es un espacio vectorial topológico (EVT) $X$ que tiene un orden parcial (≤) en un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo $C:=\left\{x\in X:x\geq 0\right\}$ es un subconjunto cerrado de $X$. ​ Los EVT ordenados tienen aplicaciones importantes en teoría espectral.

Cono normal

Si C es un cono en un EVT $X$, entonces C es normal si ${\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}$, donde ${\mathcal {U}}$ es el filtro de entornos en el origen, $\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}$ y $[U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(U-C\right)$ es el entorno C-saturado de un subconjunto $U$ de $X$. ​

Si C es un cono en un EVT $X$ (sobre los números reales o complejos), entonces los siguientes enunciados son equivalentes:​

1. C es un cono normal.
2. Para cada filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$, si $\lim {\mathcal {F}}=0$ entonces $\lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0$.
3. Existe una base de entornos ${\mathcal {B}}$ en $X$ tal que $B\in {\mathcal {B}}$ implica que $\left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B$.

y si $X$ es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces también:​

1. Existe una base de entornos en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados y C-saturados.
2. Existe una familia generadora ${\mathcal {P}}$ de semi-normas en $X$ tal que $p(x)\leq p(x+y)$ para todos los $x,y\in C$ y $p\in {\mathcal {P}}$.

Si la topología en $X$ es localmente convexa, entonces el cierre de un cono normal es un cono normal.​

Propiedades

Si C es un cono normal en $X$, y B es un subconjunto acotado de $X$, entonces $\left[B\right]_{C}$ está acotado. En particular, cada intervalo $[a,b]$ está acotado.​ Si $X$ es de Hausdorff, entonces todo cono normal en $X$ es un cono propio.​

Propiedades

• Sea $X$ un espacio vectorial ordenado sobre los números reales que es de dimensión finita. Entonces, el orden de $X$ es arquimediano si y solo si el cono positivo de $X$ está cerrado para la topología única bajo la cual $X$ es un EVT de Hausdorff.​
• Sea $X$ un espacio vectorial ordenado sobre los reales con cono positivo C. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:​

1. El orden de $X$ es regular.
2. C se cierra secuencialmente para alguna topología de un EVT localmente convexo de Hausdorff en $X$; y $X^{+}$ distingue puntos en $X$
3. El orden de $X$ es arquimediano, y C es normal para algunas topologías de un EVT localmente convexo de Hausdorff en $X$.

Véase también

• Métrica generalizada
• Orden de topología (análisis funcional)
• Cuerpo ordenado
• Grupo ordenado
• Anillo ordenado
• Espacio vectorial ordenado
• Espacio parcialmente ordenado
• Espacio de Riesz
• Red vectorial topológica
• Espacio de Riesz

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

• Datos: Q96397674