Espacio muestral

En la teoría de probabilidades se llama espacio muestral o espacio de muestreo al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.

Espacio Probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilístico discreto:

Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable

• Su espacio muestral es finito de tamaño n.

• La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

$P(E)={1 \over n}$, de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es $P(A)={n(A) \over n}$

Espacio Probabilistico Finito

• Su espacio muestral es discreto finito.

• Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.$P(A)\neq P(B)$

Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

Ejemplo

Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado

• La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades.

• La probabilidad de sacar una cara y un tres será ----> $P(c)\cdot P(3)={1 \over 2}\cdot {1 \over 6}={1 \over 12}$

• La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos

• La probabilidad de sacar impar será ----> $P(I)={1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}$

Espacio Probabilistico Infinito Contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo

• La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ----> ${1 \over 2}$

• La probabilidad de que salga cara en la segunda tirada ----> ${1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 4}$

• La probabilidad de que salga cara en la tercera tirada ----> ${1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 8}$

Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.

Espacio probabilístico contínuo

• Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio.

• Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asignana intervalos.

• Por tanto la función P está definida sobre julintervalos -----> $P(K_{i}<Exp>K_{e})$

-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

$\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\;$ tal que:

1. $A_{1}\cup A_{2}\cup ..\cup A_{n}=\Omega$
2. $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \;\forall i\neq j;\ i,j=1..n$
3. $P(A_{i})>0\;\forall i=1..n$

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

• Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

• Ω'={2,3,4,...,12}

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.