Energía de Dirichlet

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En matemáticas, la energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev \mathbf{H}^1. La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición[editar]

Dado un conjunto abierto  \Omega \subseteq \mathbb{R}^n y una función u : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n la energía de Dirichlet de la función u es el número real

E[u] = \frac1{2} \int_{\Omega} | \nabla u (x) |^{2} \, \mathrm{d} x,

donde \nabla u : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n denota el gradiente del campo vectorial de la función u.

Propiedades y aplicaciones[editar]

Puesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa, i.e. E[u]\geq 0 para cualquier función u.

Resolver la ecuación de Laplace

- \Delta u (x) = 0 \text{ para todo } x \in \Omega

(sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función u que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.

Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9. 

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