Ecuación de Fisher

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Simulación numérica a la ecuación de la ecuación de Fisher. En colores: la solución u(t,x); en puntos inclinación que corresponde la velocidad teórica de la ola que viaje.
Ronald Fisher in 1913

En la matemática la Ecuación de Fisher (Fisher's equation en inglés), fue nombrado por el Británico estadístico y biólogo Ronald Fisher, también conocido como la Ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov) es la ecuación en derivadas parciales.

 \frac{\partial u}{\partial t}= r u(1-u)+ D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\,

Fisher propuso esta ecuación en el contexto de la biología evolutiva y dinámica de poblaciones por describir la extensión en el espacio del alelo ventajoso y explorando sus soluciones de olas que viajan.[1] Por cada ola velocidad  c \geq 2 \sqrt{r D} ( c \geq 2 en forma sin dimensión admite una solución de onda viajando de esta forma

 u(x,t)=v(x \pm ct)\equiv v(z),\,

donde \textstyle v está incrementando y

 \lim_{z\rightarrow-\infty}v\left(  z\right)  =0,\quad\lim_{z\rightarrow\infty }v\left(  z\right)  =1.

O sea, la solución cambie de un estado de equilibrio u = 0 a un estado de equilibrio u = 1. No existe tal solución por c < 2.[1] [2] [3] La forma de la ola por una velocidad de ola ya dada es único. Las soluciones por las olas que viajan están estables en contra de perturbaciones en el campo cerca pero no a perturbaciones del campo lejos, las cuales pueden hacer más gruesa la cola. Usando el principio de comparación y la teoría que todas las soluciones con datosinciales compactos convergen a olas con la velocidad mínima.

Por la velocidad de olas especializada c=\pm 5/\sqrt{6}, todas las soluciones se puedan encontrar en una forma cerrada,[4] con

 v(z) = \left( 1 + C \mathrm{exp}\left(\pm{z}/{\sqrt6}\right) \right)^{-2}

donde C es arbitrario y las condiciones del límite por arriba están satisfactorias por C>0.

Es quizás el ejemplo más sencillo de un sistema de reacción-difusión semilinear

 \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+F\left(  u\right)  ,

lo cual puede exhibir soluciones de olas que viajan dado porque cambian entre estados de equilibrio dado por  f(u) = 0. Tales ecuaciones ocurren por ejemplo en la ecología, la fisiología, la combustión, cristalización, plasma, y problemas generales de cambio de estado.

Prueba de la existencia de soluciones de olas viajando y el análisis de sus propiedades se hace muchas veces usando el método de fases de espacio.


Referencias[editar]

  1. a b R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
  2. A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
  3. Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
  4. Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840 doi 10.1007/BF02462380