Cayley es válido en semigrupos, será corregido aquí y en en:

Traslado aquí algo que había puesto mitad del artículo:

Traducción del breve artículo de la enciclopedia libre Planeth math:"Yoneda embedding", que nos va a ayudar a plantear rápidamente el problema.

Si ${\mathcal {C}}$ es una categoría, llamemos ${\hat {\mathcal {C}}}$ a la categoría de funtores contravariantes desde ${\mathcal {C}}$ a ${Sets}$ , la categoría de conjuntos. Los morfismos en esta categoría ${\hat {\mathcal {C}}}$ son las transformaciones naturales de funtores.

(Para evitar vérnolas con problemas teórico conjuntistas, podemos tomar un universo ${\mathcal {U}}$ y todas las categorías como ${\mathcal {U}}$ -"pequeñas".)

Para cualquier objeto $X$ de ${\mathcal {C}}$ , existe un funtor $h_{X}={\rm {Hom}}(-,X)$ . Fijarse que este objeto, de la categoría de funtores, esto es, este funtor asociado al objeto X, asocia a X el conjunto de todas las flechas que terminan en él, como objeto de su categoría. Entonces $X\mapsto h_{X}$ es un funtor covariante ${\mathcal {C}}\to {\hat {\mathcal {C}}}$ , el cual "embebe" ${\mathcal {C}}$ "faithfully" como una subcategoría "full" de ${\hat {\mathcal {C}}}$ .

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Planteamiento formal del lema[editar]

Traducción del breve artículo de la enciclopedia libre Planeth math:"Yoneda embedding", que nos va a ayudar a plantear rápidamente el problema.

Si ${\mathcal {C}}$ es una categoría, llamemos ${\hat {\mathcal {C}}}$ a la categoría de funtores contravariantes desde ${\mathcal {C}}$ a ${Sets}$ , la categoría de conjuntos. Los morfismos en esta categoría ${\hat {\mathcal {C}}}$ son las transformaciones naturales de funtores.

(Para evitar vérnolas con problemas teórico conjuntistas, podemos tomar un universo ${\mathcal {U}}$ y todas las categorías como ${\mathcal {U}}$ -"pequeñas".)

Para cualquier objeto $X$ de ${\mathcal {C}}$ , existe un funtor $h_{X}={\rm {Hom}}(-,X)$ . Fijarse que este objeto, de la categoría de funtores, esto es, este funtor asociado al objeto X, asocia a X el conjunto de todas las flechas que terminan en él, como objeto de su categoría. Entonces $X\mapsto h_{X}$ es un funtor covariante ${\mathcal {C}}\to {\hat {\mathcal {C}}}$ , el cual "embebe" ${\mathcal {C}}$ "faithfully" como una subcategoría "full" de ${\hat {\mathcal {C}}}$ .

A continuación ponemos aquí el anterior trabajo de traducción del artículo de la Wikipedia inglesa hasta que sea completado bien.

Se denota por Fun(C^op,Set) a la categoría de funtores contravariantes desde C a Set. Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales; escribiremos Nat(F,G) para denotar a los conjuntos de todas las transformaciones naturales entre los funtores F y G. Si A es un objeto de C, entonces podemos asignar a cada objeto X de C el conjunto de los morfismos Mor(X,A). Cada morfismo $\phi :X\rightarrow Y$ en C induce una aplicación Mor(Y,A) $\rightarrow$ Mor(X,A) mediante la regla f $\rightarrow$ fφ. Tenemos así definido un funtor contravariante Mor( - ,A) de C a Set, esto es, un elemento de Fun(C^op,Set).

Tal funtor es denominado funtor representable para C – a menudo denotado con h_A.

La asignación

A |→ Mor( - ,A)

nos da un funtor covariante

Y : C → Fun(C^op,Set)

A este funtor se le llama embebimiento de Yoneda y es "natural" en el sentido de que cada functor C -> D induce un diagrama conmutativo

D --> Fun(D^op,Set)

|         | 
|         |
|         |
V         V

C --> Fun(C^op,Set)

de los correspondientes embebimientos de Yoneda.

Lo que nos dice el lema de Yoneda es que Y es finalmente un embebimiento full, completo, ya que para todos los objetos A, B en C, el funtor Y induce una biyección

Mor(A,B) → Nat(Y(A), Y(B)).

En otras palabras: los morfismos entre A y B en la categoría original C son "los mismos" que los morfismos entre los dos objetos correspondientes Y(A), Y(B) en la categoría extendida. Fun(C^op,Set).

E incluso más: para todo funtor contravariante F : C → Set y para todo objeto A en C, existe una biyección natural

F(A) → Nat(Y(A), F)

que quiere decir que si conoces cómo se comporta el funtor F sobre C, entonces también sabes cómo éste funciona en la imagen de C e la categoría extendida.

Categorías preaditivas, anillos y módulos[editar]

Una categoría preaditiva es una categoría donde los conjuntos de morfismos son grupos abelianos y donde la composición de morfismos es bilineal; como ejemplos tenemos las categorías de grupos abelianos o módulos. En una categoría preaditiva, hay tanto una multiplicación como una suma de morfismos, y esto es por lo que las categorías preaditivas se tiene como generalizaciones de anillos. Los anillos son categorías preaditivas con un sólo objeto.

El lema de Yoneda sigue siendo cierto para las categorías preaditivas si elegimos como extensión a la categoría de funtores contravariantes aditivos que van desde la categoría original a la categoría de grupos abelianos; estos son funtores compatibles con la adición de morfismos y que se puede pensar que forman cierta categoría módulo sobre la categoría original. El lema de Yoneda nos da entonces el procedimiento natural para agrandar una categoría preaditiva tal que lo que obtengamos con esto siga siendo preaditivo — de hecho, la versión extendida de nuestra categoría es una categoría abeliana, lo que es una condición mucho más potente. En el caso de un anillo R, la categoría extendida es la categoría de todos los módulos por la derecha sobre R, y el lema de Yoneda nos viene a decir sólo este isomorfismo bien conocido

M = Hom_R(R,M) para todos los módulos por la derecha M sobre R.

=[editar]

Empezando la traducción del artículo de la wikipedia en francés:

lema de Yoneda[editar]

Un objeto A de una categoria C define un funtor covariante de C en la categoría Set des ensembles par :

X\rightarrow h_{A}(X)=Hom_{C}(A,X)\,

De esta manera disponemos de un funtor contravariante de C en la categoría Func(C,Ens) de los funtores contravariantes de C en Set. Todo morfismo de A a B en la categoría C induce un morfismo de $h_{B}$ dans $h_{A}$ . El lema de Yoneda afirma que estos son los únicos morfismos de los que disponemos; además, mediante el lema se caracterizan los conjuntos de morfismos de $h_{A}$ a cualquier otro funtor de C a Ens.

Enunciado[editar]

Para todo objeto A de una categoría C, todo morfismo $\psi$ de $h_{A}$ sobre un funtor $T:$ C $\rightarrow$ Set está definido únicamente por el elemento de $T(A)$ que se define como la imagen de $Id_{A}$ en $h_{A}(A)$ por $\psi (A)$ . Más precisamente, disponemos de una biyección:

Hom(h_{A},T)\rightarrow T(A\,)

\psi \rightarrow \psi (A)(Id_{A})\,

En particular, para todos los objetos A y B de C, tenemos:

Hom(h_{A},h_{B})=Hom(B,A)\,

h se denomina el embebimiento de Yoneda.