Discusión:Conjunto de Cantor
CONJUNTO DE CANTOR[editar]
En el artículo Conjunto de Cantor se afirma lo siguiente "El conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1]: tiene tantos elementos como él".
Creo que es un error.
La aplicación a la alude el artículo "a cada número escrito con sólo ceros y dos se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus dos por unos" es en realidad suprayectiva.
Por ejemplo, la imagen de 1/3 y 2/3 es la misma: 1/2.
Claramente, la imagen de 2/3 = 0,2 (en base 3) es 0,1 (en base 2), es decir, 1/2
Si ahora consideramos 1/3 = 0,02222222... (en base 3)[*], su imagen será 0,011111111... (en base 2), es decir 1/2.
Lo mismo ocurre para 1/9 y 2/9, etc.
[*]Recordemos que en base 10,se tiene que 0,999999...... = 1.
--Anatoli1024 05:24 31 dic 2006 (CET)
El error en el que cae este usuario para intentar demostrar que la aplicación es suprayectiva es considerar que 0,999999...... = 1 (en base 10). Este redondeo es válido en el cálculo práctico pero no en la teoría de números.
Por otra parte, como el conjunto de cantor es un subconjunto de [0, 1], su cardinalidad es no-mayor que la de [0, 1] [*], por tanto por la prueba anterior y esta, se deduce que ambas cardinalidades son iguales.
[*] Ahora podemos establecer una relacion suprayectiva en dirección contraria: de [0, 1] al conjunto de cantor. La relación podria ser: X pertenecietne a [0, 1] se corresponde con X, si X pertenece al conjunto de cantor, y si no se correcponde con 0.
WikiCholi 13:37 20 ene 2007 (CET)
¿lógico? "Por lo tanto el conjunto de Cantor mide cero. Y es lógico, porque no contiene ningún intervalo, los hemos destruido sistemáticamente."
¿Es lógico por eso? Hay muchos conjuntos de medida total que no contienen ningún intervalo, y me parece lógico que tengan medida total (por ejemplo, los irracionales). BrunoX 19:21 16 feb 2007 (CET)
En mi opinión sí que es lógico. Efectivamente, la longitud está definida para objetos de dimensión 1. Para objetos de dimensión superior hablamos de superficie, volumen. En el caso del conjunto de Cantor se trata de un conjunto de puntos, de dimensión topológica 0, por lo que la longitud es exactamente cero, igual que podemos asegurar que la superficie de una curva es cero.
Es cero realmente? cuantos elementos tiene el conjunto? habria que integrar el conjunto en el intervalo [0,1]. El cunjunto es menos denso, pero no por eso menos largo.
La medida de Lebesgue es capaz de asignar longitud a conjuntos que están formados por puntos y no tienen dimensión 1. La medida para los racionales es 0 y para los irracionales es 1. El conjunto de Cantor (C) es medible y su medida es 0 pues en la estapa k-ésima C_k tiene longitud (2/3)^k (sucesión que tiende a 0) y C=intersección(C_k) por lo que se tiene que m(C)<m(C_k) para todo k de los naturales, de este modo m(C)=0. --- Cito "El error en el que cae este usuario para intentar demostrar que la aplicación es suprayectiva es considerar que 0,999999...... = 1 (en base 10). Este redondeo es válido en el cálculo práctico pero no en la teoría de números. "
0.999999... si es igual a 1 (en base 10), no es ningún tipo de redondeo. Demostración x=0.9999999... 10*x=9.9999999... 10*x=9+.99999999... 10*x=9+x 10*x-x=9 9*x=9 x=9/9 x=1
Sí, eso de 0.99999...=1 no es redondeo; eso también se puede demostrar usando series. Sugiero ser un poco más simples y no usar conceptos de integración y topología (lo que solo termina por confundirlos). Les pido el favor leer sobre la representación decimal de números reales y el argumento diagonal de Cantor (para mostrar que el [0,1] no es enumerable) para luego discutir el artículo. Prometo cuando tenga un poco más de tiempo sugerir correcciones, por ahora lo que he leído tengo que dejarlo en mis manuscritos.
Unas sugerencias bibliográficas; Introduction to set theory, Hrbacek & Jech y Set Theory for the Working Mathematician, P. T. Johnstone.
Buenas, estuve leyendo la discución sobre la demostración a cerca de la cardinalidad del conjunto. Me parece que el error está en que si llamamos F(x) a la aplicación, el hecho de que F(1/3)=F(2/3) no niega la suprayectividad. ver http://es.wikipedia.org/wiki/Suprayectiva . quizás la confunden con la biyectividad, la cual no es necesaria dado que el conjunto de cantor no puede tener un cardinal mayor al [0,1] porque está contenido en él.
De todas formas desde mi punto de vista es una demostración un poco artificiosa, conozco una más sensilla que intentaré ezbozar a continuación:
suponemos que C es numerable, entonces C={C1,C2,C3...,Cn,..}, y ahora tomo C* de la siguiente manera, voy tomándo la n-ésima cifra luego de la coma (trabajando siempre en base 3) de los Cn y al C* le asigno la otra cifra en ese lugar (si era 0 le asigno 2 y si era 2 le asigno 0). o sea si C1=0,02002, C2=0,2002, C*=0,22... Entonces, C* por tener sólo 0 y 2 en su desarrollo decimal pertenece a C, pero por diferir en la 1era cifra decimal con C1, no es C1, por diferir en la 2da cifra decimal con C2, no es C2.. por diferir en la n-ésima cifra decimal con Cn, no es Cn. Por lo tanto no es ninguno. esto es absurdo, y surge de suponer que C es numerable.
No quise modificar directamente el artículo porque además de que soy un poco desprolijo para hacer este tipo de cosas en la computadora, el artícula estaba en discución.
Pablo Amil
Sobre la cardinalidad[editar]
El conjunto [0 ; 1] es equipotente a R, conjunto de los reales, no es enumerable; al retirar intervalos centrales del anterior se hace un proceso enumerable. Luego la cardinaldad de " retirar" es igual a la de N. Cardinal de R- cardinal de N= cardinal de R. Por eso trabajar en una recta es lo mismo que trabajar en un intervalo.