Derivación de funciones trigonométricas

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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

Por tanto si f(x) = sin(x)

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x) \over h}$

A partir de la identidad trigonométrica $\sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)$, se puede escribir

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x) \over h}$

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}$

Reordenando los términos y el límite se obtiene

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}$

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{(1-\cos(h)) \over h}$

El valor de los límites

$\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad {\text{y}}\quad \lim _{h\to 0}{(1-\cos(h)) \over h}$

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

$f'(x)=\cos(x)\,$

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x) \over h}$

A partir de la identidad trigonométrica $\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$, se puede escribir

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x) \over h}$

Operando se obtiene

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h) \over h}$

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=cos(x)\lim _{h\to 0}{\cos(h)-1 \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}$

El valor de los límites

$\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad {\text{y}}\quad \lim _{h\to 0}{(\cos(h)-1) \over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x)\,$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)$, se puede escribir como

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

y $h(x)$ ≠ $0$, entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)$ es igual a:

${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan(x)={sin(x) \over \cos(x)}$

haciendo

$g(x)=\sin(x)$ $g'(x)=\cos(x)$

$h(x)=\cos(x)$ $h'(x)=-\sin(x)$

sustituyendo resulta

$f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)[-\sin(x)]}{\cos ^{2}(x)}}$

operando

$f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

$\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ $\sec(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$

resulta

$f'(x)=\sec ^{2}(x)$