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Línea 60: |
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== Derivada de la función coseno == |
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== Derivada de la función coseno == |
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Si ''f''(''x'') = cos(''x'') |
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:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}</math> |
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A partir de la identidad trigonométrica <math>\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)</math>, se puede escribir |
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:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}</math> |
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Operando se obtiene |
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:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}</math> |
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Como sin(''x'') y cos(''x'') no varían al variar ''h'', se pueden sacar fuera del límite para obtener |
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:<math>f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}</math> |
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El valor de los límites |
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:<math>\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}</math> |
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Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si ''f''(''x'') = cos(''x''), |
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:<math>f'(x)=-\sin(x) \,</math> |
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== Derivada de la función tangente == |
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== Derivada de la función tangente == |
Función
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Derivada
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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.
Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532b1fb2dc92a00dbd79baab51e3b8f0074dd3fb)
Por tanto si f(x) = sin(x)
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0080730cda68e5c6da8688a60aef009fd356e050)
A partir de la identidad trigonométrica
, se puede escribir
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c96e32b0a04bb80b228fb648fb7c506e570c53)
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342fe479e29b6b16b83b1a519c3ef5247d3116bd)
Reordenando los términos y el límite se obtiene
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3e79714feb3ec340a1d6070cde3ff6f8675118)
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
![{\displaystyle f'(x)=cos(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d4b8d4d3b4505d528514bd99a26af0b187f2f4)
El valor de los límites
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad {\text{y}}\quad \lim _{h\to 0}{(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907663c092660ae4c7586844c3fb827296d51118)
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
![{\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96892014f9eacebe3b0d6bbe82a1f2594c4a9dff)
Derivada de la función coseno
0
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar,
, se puede escribir como
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
y
≠
, entonces la regla dice que la derivada de
es igual a:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c88a63b6dca6feb28c3fbfa5db1925eb400bfd4)
A partir de la identidad trigonométrica
![{\displaystyle \tan(x)={sin(x) \over \cos(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b954878c4f991d3455a20ce0bd32bed469c330f7)
haciendo
![{\displaystyle g'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0520d693cc9e496d05674e785147da75ea992229)
![{\displaystyle h'(x)=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2162e3de944195ac1e6fa50d3c0db40efc183f4c)
sustituyendo resulta
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)[-\sin(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d414bbb87f90f8da3356dd149e56a44c5a0d93)
operando
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a122a766b18d14d46a663a31b6ad6cb9cd9fa52)
y aplicando las identidades trigonométricas
![{\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9f02b72b07b77d47380db368f03f76e0e4f0e8)
resulta
![{\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db82481fbe59e5f77d910ad706067126d004ea64)