Consistencia (lógica)

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En lógica, la consistencia o consistencia lógica es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas lógicas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción, es decir, que si p puede ser deducido de () entonces su negación ¬p no puede ser deducida del mismo conjunto. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: y simultáneamente.

Introducción[editar]

La consistencia de un conjunto de proposiciones puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo :

Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ¬A (i.e. la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.[1]

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: { p, q, (q→¬p), r }. Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre q y (q→¬p), es posible deducir ¬p. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente. Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

Un sistema formal es consistente si y sólo si el conjunto de sus teoremas es consistente.[1]

Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.

Demostración de consistencia[editar]

Una demostración de consistencia, o prueba de consistencia, es una demostración formal de que un sistema formal es consistente. Un sistema formal es consistente si no contiene una contradicción, o, en forma más precisa, no existe una proposición tal que se puede demostrar o deducir simultáneamente la proposición y su negación.

Referido a un argumento, la consistencia es la necesidad de que todas las premisas tengan que ser necesariamente y a la vez, como producto, todas verdaderas, para que el argumento, si es consistente, pueda ser válido o no válido. Referido al discurso la consistencia tiene que ver con que las implicaciones lógicas del mismo no sean autocontradictorias.

El desarrollo inicial de la teoría de la demostración matemática fue motivado por el deseo de proveer demostraciones de coherencia finita para toda la matemáticas como parte del programa de Hilbert. El programa de Hilbert cumple con las observaciones de Gödel, tal como se expresa en sus dos teoremas de incompletitud de Gödel, de que las teorías de demostración robustas no son capaces de probar su propia consistencia.

A pesar de que es posible demostrar la consistencia mediante teoría de modelos, por lo general se realiza de una manera puramente sintáctica, sin la necesidad de proveer una referencia a algún modelo de la lógica. La eliminación de corte (o en forma equivalente la normalización del cálculo subyacente si es que existe uno) implica la consistencia del cálculo: dado que obviamente no existe prueba de falsedad que sea libre de corte, no existe por lo tanto contradicción en general.

Consistencia y completitud[editar]

Los principales resultados relacionados con la consistencia y completitud fueron demostrados por Kurt Gödel:

Mediante la aplicación de estas ideas, se pueden encontrar cuatro tipos distintos de teorías de primer orden:

  1. Teorías inconsistentes, que no poseen modelos.
  2. Teorías que no pueden analizar su propia relación de demostración, tales como la axiomatización de Tarski de la geometría del punto y la línea, y la aritmética de Presburg. Dado que estas teorías son descriptas en forma satisfactoria por el modelo que se obtiene mediante el teorema de completitud, entonces estos sistemas son completos.
  3. Teorías capaces de analizar su propia consistencia, y que incluyen la negación de la proposición que asevera su propia consistencia. Este tipo de teorías son completas con respecto al modelo que se obtiene a partir del teorema de completitud, pero contienen como teorema la implicancia de una contradicción, en contradicción al hecho de que son consistentes.
  4. Teorías esencialmente incompletas.

En forma adicional, se ha descubierto recientemente que existe un quinto tipo de teoría, las teorías auto verificables, que son lo suficientemente robustas como para analizar su propia relación de demostración, pero son demasiado débiles como para realizar una diagonalización de Gödel, y que por lo tanto pueden demostrar en forma consistencia su propia consistencia. Sin embargo, una teoría que demuestra su propia consistencia no permite obtener ninguna información interesante, dado que las teorías inconsistentes también demuestran su propia consistencia.

Fórmulas[editar]

Un conjunto de fórmulas en lógica de primer orden es consistente (expresado como Con) si y solo si no existe una fórmula tal que y . De lo contrario es inconsistente y se expresa Inc.

es simplemente consistente si y solo si para ninguna fórmula de son tanto como la negación de teoremas de .

es absolutamente consistente si por lo menos una fórmula de no es un teorema de .

es máximamente consistente si y solo si para toda fórmula , si Con entonces .

se dice contiene testigos si y solo si para cada fórmula de la forma existe un término tal que .

Resultados básicos[editar]

1. Los siguientes son equivalentes:

(a) Inc

(b) Para todo

2. Todo conjunto de fórmulas satisfactible es consistente, un conjunto de fórmulas es satisfactible si y solo si existe un modelo tal que .

3. Para todo y :

(a) si no , entonces Con;

(b) si Con y , entonces Con;

(c) si Con , entonces Con o Con.

4. Sea un conjunto de fórmulas consistentes y que poseen testigos. Para todo y :

(a) si , entonces ,

(b) o bien o bien ,

(c) si y solo si o ,

(d) si y , entonces ,

(e) si y solo si existe un término tal que .

Teorema de Henkin[editar]

Sea un conjunto de fórmulas máximamente consistentes testigos.

Define una relación binaria en el conjunto de términos S si y solo si ; y sea la clase de términos de equivalencia conteniendo ; y sea donde es el conjunto de términos basados en el conjunto de símbolo .

Define la estructura S sobre el término-estructura correspondiente a mediante:

(1) Para el -ésimo , si y solo si ,

(2) Para el -ésimo , ,

(3) Para , .

Sea el término-interpretación han asociado con , donde .

Para todo , si y solo si .

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. a b Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 24». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press. 

Bibliografía[editar]

  • H. D. Ebbinghaus; J. Flum; W. Thomas (1994). Mathematical Logic (en inglés) (Second Edition edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94258-0.