Cuatro cuatros

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El problema de los cuatro cuatros es uno de los problemas enunciados en el libro El hombre que calculaba (de Malba Tahan).

El origen del problema se da en una conversación entre Beremir (El hombre que calculaba) y su acompañante, al ver una tienda en la que todo se vendía a cuatro dinares. De ahí que Beremiz recuerde que es una interesante coincidencia que le hace recordar un "hermoso problema".

El problema consiste, según el enunciado, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello sólo cuatro cuatros, y a lo sumo, algunos símbolos no literales para las operaciones básicas. Beremiz da algunos ejemplos para algunos de los números más conocidos, como el cero y los números del uno al diez.

Problemas similares pueden plantearse con tres tres, etcétera. Sin embargo, es muy fácil representar con cuatro cuatros muchos números de gran importancia para las civilizaciones actuales.

Es común plantear este problema en dos fases, primero resolver los números de uno al diez, y después del uno al cien. Todos los primeros cien números tienen respuesta.

También existe la variación de hacerlo con los números uno, dos, tres y cuatro; donde cada número debe ser utilizado una y solo una vez.

Ejemplos de representaciones usando cuatro cuatros[editar]

A continuación se presentan algunos ejemplos para varios

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Prueba para todo número real[editar]

Si bien el problema original solo contaba con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, multiplicación, concatenación, raíces, factoriales y conversión a decimales, si se permite también agregar el operador logaritmo, entonces se puede generar una solución para todo número perteneciente a los números reales.

Partiendo que:

Quiere decir que:

Y de esta manera sucesivamente, se tiene una respuesta para todos los números reales utilizando , ya que , así que habrá una respuesta para cada número natural.

Además que

Ahora, para utilizar los cuatro cuatros, entonces se procede con que:

Utilizando esto en la propiedad anterior se obtiene que:

De esta manera, y con los operandos logaritmo y raíz, se utilizan dos de los cuatro cuatros; ahora, se parte de:

Para encontrar las respuestas de los anteriores pero esta vez para la base :

Lo único que se requiere es conseguir expresar con los dos cuatros restantes;

Entonces todo lo que se requiere es expresar:

Donde n es el número de operando raíces que deben ser colocadas

Con n=1;

Con n=2;

Con n=3;

Con n=4;

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