Diferencia entre revisiones de «Cuadrado perfecto»
Apariencia
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 88.7.37.120 a la última edición de Diegusjaimes |
Página blanqueada |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
En [[matemáticas]], un '''número cuadrado''' a veces se denomina un '''cuadrado perfecto''' es la multiplicación de un [[entero]] por sí mismo. En otras palabras, un número cuya [[raíz cuadrada]] es un número [[entero]]. De esta forma, por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que puede ser escrito como 3 × 3. Si los [[número racional|números racionales]] fueran incluidos en la definición, entonces la razón de dos enteros cuadrados es igualmente un cuadrado (por ejemplo: 4/9 = 2/3 × 2/3). |
|||
Un número entero positivo que no tiene [[divisor]]es cuadrados (excepto el 1) se denomina [[número libre de cuadrados]]. |
|||
== Ejemplos == |
|||
Los primeros 50 cuadrados ({{OEIS|A000290}}) son: 0<sup>2</sup> = 0 |
|||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
|||
:1<sup>2</sup> = 1 |
|||
:2<sup>2</sup> = 4 |
|||
:3<sup>2</sup> = 9 |
|||
:4<sup>2</sup> = 16 |
|||
:5<sup>2</sup> = 25 |
|||
:6<sup>2</sup> = 36 |
|||
:7<sup>2</sup> = 49 |
|||
:8<sup>2</sup> = 64 |
|||
:9<sup>2</sup> = 81 |
|||
:10<sup>2</sup> = 100</div> |
|||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
|||
:11<sup>2</sup> = 121 |
|||
:12<sup>2</sup> = 144 |
|||
:13<sup>2</sup> = 169 |
|||
:14<sup>2</sup> = 196 |
|||
:15<sup>2</sup> = 225 |
|||
:16<sup>2</sup> = 256 |
|||
:17<sup>2</sup> = 289 |
|||
:18<sup>2</sup> = 324 |
|||
:19<sup>2</sup> = 361 |
|||
:20<sup>2</sup> = 400 |
|||
</div> |
|||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
|||
:21<sup>2</sup> = 441 |
|||
:22<sup>2</sup> = 484 |
|||
:23<sup>2</sup> = 529 |
|||
:24<sup>2</sup> = 576 |
|||
:25<sup>2</sup> = 625 |
|||
:26<sup>2</sup> = 676 |
|||
:27<sup>2</sup> = 729 |
|||
:28<sup>2</sup> = 784 |
|||
:29<sup>2</sup> = 841 |
|||
:30<sup>2</sup> = 900 |
|||
</div> |
|||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
|||
:31<sup>2</sup> = 961 |
|||
:32<sup>2</sup> = 1024 |
|||
:33<sup>2</sup> = 1089 |
|||
:34<sup>2</sup> = 1156 |
|||
:35<sup>2</sup> = 1225 |
|||
:36<sup>2</sup> = 1296 |
|||
:37<sup>2</sup> = 1369 |
|||
:38<sup>2</sup> = 1444 |
|||
:39<sup>2</sup> = 1521 |
|||
:40<sup>2</sup> = 1600 |
|||
</div> |
|||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
|||
:41<sup>2</sup> = 1681 |
|||
:42<sup>2</sup> = 1764 |
|||
:43<sup>2</sup> = 1849 |
|||
:44<sup>2</sup> = 1936 |
|||
:45<sup>2</sup> = 2025 |
|||
:46<sup>2</sup> = 2116 |
|||
:47<sup>2</sup> = 2209 |
|||
:48<sup>2</sup> = 2304 |
|||
:49<sup>2</sup> = 2401 |
|||
:50<sup>2</sup> = 2500 |
|||
</div> |
|||
<br clear="both" /> |
|||
== Propiedades == |
|||
El número ''m'' es un cuadrado de un número si y sólo si uno puede colocar ''m'' puntos en un cuadrado: |
|||
La fórmula más general para el ''n''-ésimo número cuadrado es ''n''<sup>2</sup>. Este resultado es también igual a la suma de los primeros ''n'' [[números impares]], tal y como puede verse en |
|||
:<math>n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)</math> |
|||
como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. |
|||
El [[teorema de cuatro cuadrados de Lagrange]] establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4<sup>''k''</sup>(8''m'' + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la |
|||
[[factorización en números primos]] no contiene potencias impares de la forma 4''k'' + 3. Esta es una generalización del [[problema de Waring]]. |
|||
Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue: |
|||
# Si el último dígito de un [[número]] es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente [[dígito]]s deben ser también un cuadrado. |
|||
# Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro. |
|||
# Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par. |
|||
# Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro. |
|||
# Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser '''impar'''. |
|||
# Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56. |
|||
== Cuadrados como sumas == |
|||
El ''n''-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (''n'' − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (''n'' − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (<math>n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2</math>). Por ejemplo, |
|||
2×5<sup>2</sup> − 4<sup>2</sup> + 2 = 2×25 − 16 + 2 = |
|||
50 − 16 + 2 = 36 = 6<sup>2</sup>. |
|||
Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + ''n'' − 1 + ''n'' − 1 + ''n''. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4<sup>2</sup> es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de [[tres en raya]]). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50<sup>2</sup> + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. |
|||
Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos consecutivos [[número triangular|números triangulares]]. La suma de dos consecutivos números cuadrados es un [[número cuadrado centrado]]. Cada cuadrado impar es además un [[número octogonal centrado]]. |
|||
== Números cuadrados impares y pares == |
|||
Los cuadrados de números pares, desde (2''n'')<sup>2</sup> = 4''n''<sup>2</sup>. |
|||
Los cuadrados de números impares desde (2''n'' + 1)<sup>2</sup> = 4(''n''<sup>2</sup> + ''n'') + 1. |
|||
De esto se sigue que las raíces cuadradas de los cuadrados de los números pares son pares, y las raíces cuadradas de los números impares son igualmente impares. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (Véase [[raíz cuadrada de 2]]). |
|||
== Teorema de Chen == |
|||
[[Chen Jingrun]] demostró en 1975 que siempre existe un número ''p'', que es o bien [[número primo|primo]] o bien [[número semiprimo|producto de dos primos]], entre ''n''<sup>2</sup> y (''n'' + 1)<sup>2</sup>. Véase también [[conjetura de Legendre]]. |
|||
== Bibliografía == |
|||
* Conway, J. H. and Guy, R. K. ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X |
|||
== Véase también == |
|||
* [[Paradoja de Galileo]] |
|||
== Enlaces externos == |
|||
* [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM] es un applet JAVA que descompone un [[número natural]] dado en la suma de cuatro cuadrados. |
|||
[[Categoría:Aritmética]] |
|||
[[da:Kvadrattal]] |
|||
[[de:Quadratzahl]] |
|||
[[en:Square number]] |
|||
[[eo:Kvadrata nombro]] |
|||
[[fa:مربع کامل]] |
|||
[[fi:Neliöluku]] |
|||
[[fr:Nombre carré]] |
|||
[[he:מספר ריבועי]] |
|||
[[hu:Négyzetszám]] |
|||
[[it:Quadrato perfetto]] |
|||
[[ja:平方数]] |
|||
[[ko:사각수]] |
|||
[[la:Numerus quadratus]] |
|||
[[pt:Número quadrado]] |
|||
[[ru:Квадрат (число)]] |
|||
[[simple:Square number]] |
|||
[[sk:Štvorec (číslo)]] |
|||
[[sl:Kvadratno število]] |
|||
[[ta:வர்க்கம் (கணிதம்)]] |
|||
[[vi:Số chính phương]] |
|||
[[yi:קוואדראטצאל]] |
|||
[[zh:平方数]] |