Constante de Apéry

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, la constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),

donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de

Teorema de Apéry[editar]

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números impares n.

Representación por series[editar]

En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serie

que fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:

y

Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:

y

donde

Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.

Representación por integrales[editar]

Hay también muchas representaciones integrales para la constante de Apéry, de los más sencillos

o

que se derivan trivialmente de las definiciones integrales clásicas de la función zeta de Riemann, hasta bastante complicadas, como, por ejemplo,

vea Johan Jensen,[1] o

vea F. Beukers,[2] o

vea Iaroslav Blagouchine.[3] Además, el vínculo a las derivadas de la función gamma

también puede usarse para obtener muchas otras representaciones mediante conocidas fórmulas integrales para la función gamma y sus derivadas logarítmicas.

Referencias[editar]

  1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346-347, 1895.
  2. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268-272, 1979.
  3. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF