Diferencia entre revisiones de «Conmensurabilidad»
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En [[matemática]], la '''conmensurabilidad''' es la característica de dos [[número]]s conmensurables. Dos [[números reales]], <math>a</math> y <math>b</math>, que no sean [[cero]], son conmensurables sólo cuando la razón ''a/b'' es un [[número racional]]. Si la razón de ''a/b'' es irracional, entonces se dice que es '''inconmensurable'''. |
En [[matemática]], la '''conmensurabilidad''' es la característica de dos [[número]]s conmensurables. Dos [[números reales]], <math>a</math> y <math>b</math>, que no sean [[cero]], son conmensurables sólo cuando la razón ''a/b'' es un [[número racional]]. Si la razón de ''a/b'' es irracional, entonces se dice que es '''inconmensurable'''. |
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== Inconmensurabilidad == |
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Inconmensurabilidad es el opuesto a la conmensuralidad. Indica que dos [[magnitud (matemática)|magnitudes]] no se pueden comparar. |
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Para los [[Antigua Grecia|antiguos griegos]] todo se podía comparar o medir utilizando [[número entero|números enteros]]. Ejemplo de lo que consiguieron con relaciones numéricas sencillas es la descripción de la [[escala musical]], hoy conocida como escala pitagórica. |
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Desde la misma [[Escuela Pitagórica]] fue demostrado que la [[diagonal]] de un [[cuadrado]] y el lado del mismo cuadrado no guardan una proporción expresable por números enteros, esto es, que eran inconmensurables. Esto llevó a una [[crisis]], pues los [[pitagóricos]] esperaban descifrar todos los enigmas de la naturaleza usando los números y este descubrimiento acabó con su proyecto. |
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Conviene aclarar que para la antigüedad griega no existía la noción de [[número irracional]]. Sólo consideraban o entendían el número entero o el que hoy llamamos racional y por ello les sorprendió el comprobar que existen números distintos a ellos. |
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=== Ejemplo de la diagonal de un cuadrado === |
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El ejemplo más conocido de la inconmensurabilidad es el de la razón de la [[diagonal]] de un cuadrado con respecto a un lado. |
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La razón de la diagonal <math>d</math> de un cuadrado y su lado <math>l</math> es inconmensurable (es irracional). |
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La demostración de que <math>d</math> no es racional se puede hacer de manera indirecta, considerando lo contrario. Se busca llegar a una [[contradicción]]. Si se llega a una contradicción, lo contrario no es cierto, y se establecería lo que se desea. En términos [[lógica|lógicos]]: si queremos demostrar la proposición ''J'', asumimos que "no ''J''" es incorrecta. Mediante deducciones lógicas a partir de "no ''J''" llegamos a una contradicción. Entonces se concluye que "no ''J''" no es cierta y, por lo tanto, ''J'' debe ser verdadera. Este método se llama también [[reducción al absurdo]]. |
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Supongamos que <math>\begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix}</math> (la razón de la diagonal <math>d</math> y el lado <math>l</math>) es conmensurable. |
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<math>\left ( \frac{d}{l} \right ) = \frac{a}{b}</math> |
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donde <math>a</math> y <math>b</math> son conmensurables (enteros) y no tienen factores en común (primos relativos). Por el teorema de Pitágoras se debe: |
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<math>d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2\,\!</math> |
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<math>\rightarrow \; \frac{d^2}{l^2} = 2 </math> |
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<math>\rightarrow \; \left ( \frac{d}{l} \right )^2 = 2</math> |
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Entonces, por la [[hipótesis]] y la [[ecuación]] anterior: |
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<math> \frac{a^2}{b^2} = 2</math> |
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<math>\rightarrow \; a^2 = 2b^2</math> |
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Esto significa que <math>a^2</math> es [[número par|par]], por lo que <math>a</math> también es par. <math>b</math> no puede ser par porque si <math>a</math> y <math>b</math> fueran pares, tendrían un factor común (lo que se especuló no era el caso). Entonces <math>b</math> es [[número impar|impar]]. Por ser par, <math>a = 2k</math> (siendo <math>k</math> un entero) y sustituyendo en la ecuación. |
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<math>(2k)^2 = 2b^2\;</math> |
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<math>\rightarrow \; 4k^2 = 2b^2</math> |
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<math>\rightarrow \; \frac{4k^2}{2} = b^2</math> |
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<math>\rightarrow \; 2k^2 = b^2</math> |
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<math>b^2</math> es, por ende, par. Pero <math>b</math> no puede ser par e impar simultáneamente. Como consecuencia, la hipótesis de que <math>\begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix}</math> es conmensurable es contradictoria. <math>\begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix}</math> es inconmensurable. |
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== Véase también == |
== Véase también == |
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Revisión del 18:30 7 mar 2009
En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos números conmensurables. Dos números reales, y , que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón a/b es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.
