Conmensurabilidad

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En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos números conmensurables. Dos números reales, a y b, que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón (a/b) es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.

Conmensurabilidad[editar]

La idea central del concepto conmensurabilidad no sólo es la posibilidad de comparación, sino la existencia de un factor común que pueda ser expresado.

El uso proviene de las traducciones de los Elementos de Euclides, en que dos segmentos, a y b, son llamados conmensurables precisamente si hay un tercer segmento, c, que puede ser usado una cantidad de veces entera para producir un segmento congruente a a, y otra cantidad de veces también entera para producir un segmento congruente a b. Euclides no usó ningún concepto de número real, pero sí usó la noción de congruencia de segmentos (véase algoritmo de Euclides), y que un segmento era más largo o más corto que el otro.

Que a/b sea racional es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un número real c, y números enteros m y n, tales que

a = mc y b = nc

Asumiendo por simplicidad que tanto a como b son números positivos, uno puede decir que una regla, marcada en unidades de longitud c, se puede usar para medir tanto un segmento de longitud a como uno de longitud b. Eso significa que hay una unidad común de distancia en términos de la cual, tanto a como b se pueden medir (o mensurar); de ahí la conmensurabilidad. Si no fuese así, el par a y b sería inconmensurable.

En teoría de grupos, se puede generalizar a pares de subgrupos notando que en el caso dado, los subgrupos de los enteros (como grupo aditivo) generados respectivamente por a y por b, se intersecan en el subgrupo generado por d, donde d es el mínimo común múltiplo de a y b. La intersección tiene índice finito en los enteros, y por lo tanto en cada uno de los subgrupos. En general, los subgrupos A y B de un grupo son conmensurables cuando su intersección tiene índice finito en cada uno de ellos.

Para los subespacios de un espacio vectorial se puede definir una relación similar, en términos de proyecciones que tienen núcleo y conúcleo de dimensión finita.

En cambio, dos subespacios \mathrm{A} y \mathrm{B} que son dados sobre un álgebra de Lie \mathcal{O}, no son necesariamente conmensurables si son descritos como representaciones dimensionales infinitas. Además, si los espacios completos de tipos de módulo \mathcal{O} correspondiente a \mathfrak{H} y \mathfrak{G} no son bien definidos, entonces \mathfrak{G} y \mathfrak{H} son inconmensurables. pero también cuando dos numeros potenciales se juntan forman las magnitudes conmensurables

Inconmensurabilidad[editar]

Inconmensurabilidad es el opuesto a la conmensuralidad. Indica que dos magnitudes no se pueden comparar.

Para los antiguos griegos todo se podía comparar o medir utilizando números enteros. Ejemplo de lo que consiguieron con relaciones numéricas sencillas es la descripción de la escala musical, hoy conocida como escala pitagórica.

Desde la misma Escuela Pitagórica fue demostrado que la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo cuadrado no guardan una proporción expresable por números enteros, esto es, que eran inconmensurables. Esto llevó a una crisis, pues los pitagóricos esperaban descifrar todos los enigmas de la naturaleza usando los números y este descubrimiento acabó con su proyecto.

Conviene aclarar que para la antigüedad griega no existía la noción de número irracional. Sólo consideraban o entendían el número entero o el que hoy llamamos racional y por ello les sorprendió el comprobar que existen números distintos a ellos.

Ejemplo de la diagonal de un cuadrado[editar]

El ejemplo más conocido de la inconmensurabilidad es el de la razón de la diagonal de un cuadrado con respecto a un lado.

La razón de la diagonal d de un cuadrado y su lado l es inconmensurable (es irracional).

La demostración de que d no es racional se puede hacer de manera indirecta, considerando lo contrario. Se busca llegar a una contradicción. Si se llega a una contradicción, lo contrario no es cierto, y se establecería lo que se desea. En términos lógicos: si queremos demostrar la proposición J, analizamos qué ocurriría si "no J" fuese correcta. Mediante deducciones lógicas a partir de "no J" llegamos a una contradicción. Entonces se concluye que "no J" es falsa y, por lo tanto, J debe ser verdadera. Este método se llama también reducción al absurdo.

Supongamos que \begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix} (la razón de la diagonal d y el lado l) es conmensurable.

\left ( \frac{d}{l} \right ) = \frac{a}{b}


donde a y b son conmensurables (enteros) y no tienen factores en común (primos relativos). Por el teorema de Pitágoras se debe:


d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2\,\!

\Rightarrow \; \frac{d^2}{l^2} = 2

\Rightarrow \; \left ( \frac{d}{l} \right )^2 = 2


Entonces, por la hipótesis y la ecuación anterior:


 \frac{a^2}{b^2} = 2

\Rightarrow \; a^2 = 2b^2


Esto significa que a^2 es par, por lo que a también es par. b no puede ser par porque si a y b fueran pares, tendrían un factor común (lo que se especuló no era el caso). Entonces b es impar. Por ser par, a = 2k (siendo k un entero) y sustituyendo en la ecuación.


(2k)^2 = 2b^2\;

\Rightarrow \; 4k^2 = 2b^2

\Rightarrow \; \frac{4k^2}{2} = b^2

\Rightarrow \; 2k^2 = b^2


b^2 es, por ende, par. Pero b no puede ser par e impar simultáneamente. Como consecuencia, la hipótesis de que \begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix} es conmensurable es contradictoria. \begin{matrix} \frac{d}{l} \end{matrix} es inconmensurable.

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