Conjunto perfecto

En topología, un conjunto perfecto es un subconjunto cerrado tal que todos sus puntos son puntos de acumulación (es decir, el conjunto carece de puntos aislados).

Caracterización

Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando $S'\subseteq S$ , es decir, cuando $S$ contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definición original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.

Propiedades

Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
Un conjunto perfecto de $\mathbb {R} ^{n}$ es necesariamente no numerable.
El conjunto X^º de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.^[1]

Ejemplos

En $\mathbb {R}$ , cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma $[a_{i},b_{i}]\subset R$ es un conjunto perfecto.
El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.