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Diferencia entre revisiones de «Circunferencia»

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Una '''circunferencia''' es el [[lugar geométrico]] de los [[punto (geometría)|puntos]] del [[plano (geometría)|plano]] [[equidistante]]s de otro fijo, llamado [[Centro (Geometría)|centro]]; esta distancia se denomina [[radio (geometría)|radio]]. Sólo posee longitud. Se distingue del [[círculo]] en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el [[perímetro]] del círculo cuya superficie contiene.


== '''''caras de mondaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa malparidos gonorreas''''' ==
Puede ser considerada como una [[elipse]] de [[excentricidad]] nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie [[Cono (geometría)|cónica]] o [[cilindro|cilíndrica]], o como un [[polígono]] de infinitos lados, cuya [[apotema]] coincide con su [[radio (geometría)|radio]].

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina '''[[circunferencia unidad]]'''.<ref>"Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X</ref><ref>"Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6</ref><ref> "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruiz. Anaya, 1ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8</ref><ref>"Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1</ref><ref>"Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9 </ref>

Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

[[Imagen:Circle - black simple.svg|right|240px]]

== Etimología ==
La palabra circunferencia proviene del [[idioma latín|latín]] ''circumferentĭa'' que a su vez deriva de ''circumferre'', que significa llevar alrededor.

;Otros términos similares
Durante mucho tiempo, se empleó el término círculo para designar tanto la superficie, como a la curva que lo delimita: la circunferencia. Actualmente, en idioma castellano, el círculo<ref>[http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2&TIPO_BUS=3&LEMA=c%EDrculo RAE, círculo]</ref> define la superficie, y a la curva se le llama circunferencia.<ref>[http://buscon.rae.es/draeI/SrvltObtenerHtml?LEMA=circunferencia&SUPIND=0&CAREXT=10000&NEDIC=No RAE, circunferencia]</ref> No ocurre lo mismo en otros idiomas, donde se sigue utilizando indistintamente, junto con disco. En castellano, sólo se suele utilizar el término geométrico [[disco (topología)|disco]], asociado al concepto círculo, en textos de [[topología]], una rama de las matemáticas.

En términos coloquiales (no estrictamente matemáticos) el uso de círculo y circunferencia es indistinto en algunas zonas geográficas por lo arraigado que está en la tradición, no obstante se encuentra que circunferencia se asocia más frecuentemente con los conceptos de [[aro]] o [[anillo]] en tanto que círculo se asocia más frecuentemente con los conceptos de [[disco]] o [[plato]].

== Elementos de la circunferencia ==
[[Imagen:Lineas del circulo.svg|thumb|250px|Secantes, cuerdas y tangentes.]]

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
*'''centro''', punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
*'''[[radio (geometría)|radio]]''', el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
*'''[[diámetro]]''', el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por el centro;
*'''[[cuerda]]''', el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
*'''recta [[secante]]''', la que corta a la circunferencia en dos puntos;
*'''recta [[tangente]]''', la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
*'''punto de tangencia''', el de contacto de la tangente con la circunferencia;
*'''[[Arco (geometría)|arco]]''', segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
*'''semicircunferencia''', cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

== La circunferencia y un punto: posiciones relativas ==

Un punto en el plano puede ser:

*'''Exterior a la circunferencia''', si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
*'''Sobre la circunferencia''', si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
*'''Interior a la circunferencia''', si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

== La circunferencia y la recta: posiciones relativas ==

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

*'''Exterior''', si no no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

*'''Tangente''', si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

*'''Secante''', si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

== Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas ==

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

*'''Exteriores''', si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

*'''Tangentes exteriormente''', si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

*'''Secantes''', si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son ''secantes ortogonalmente'' si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

*'''Tangentes interiormente''', si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
*'''Interiores excéntricas''', si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

*'''Interiores concéntricas''', si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como [[corona circular]] o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

*'''Coincidentes''', si tienen el mismo centro y el mismo radio. En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

== Ángulos respecto de una circunferencia ==
[[Imagen:Angulos del circulo1.svg|thumb|220px|Ángulos en la circunferencia.]]
[[Imagen:Angulos inscritos.svg|thumb|220px|[[Arco capaz]]: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.]]
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

'''Ángulo central''', si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
:La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
'''Ángulo inscrito''', si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
:La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: [[arco capaz]].)
'''Ángulo semi-inscrito''', si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
:La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
'''Ángulo interior''', si su vértice está en el interior de la circunferencia.
:La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
'''Ángulo exterior''', si tiene su vértice en el exterior de ésta.
:La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

== Longitud de la circunferencia ==

La [[longitud]] <math>\ell</math> de una circunferencia es:
:::<math> \ell = 2 \pi r</math>
donde <math> r \,</math> es la longitud del radio.

Pues <math>\pi \,</math> ([[número pi]]), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el [[diámetro]]:
:::<math> \pi = \ell / 2 r</math>

== Ecuaciones de la circunferencia ==
[[Imagen:Unit circle.svg|right|250px]]
==== Ecuación en coordenadas cartesianas ====

En un sistema de [[coordenadas cartesianas]] ''x-y'', la circunferencia con centro en el punto (''a'', ''b'') y [[radio (geometría)|radio]] ''r'' consta de todos los puntos (''x'', ''y'') que satisfacen la ecuación
:<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,</math>.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
:<math>x^2 + y^2 = r^2\,</math>.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada [[circunferencia goniométrica]], circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

:<math>(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,</math>

se deduce:

:<math>x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,</math>

resultando:
:<math>a = \frac{-D}{2}</math>
:<math>b = \frac{-E}{2}</math>

:<math>r = \sqrt{a^2 + b^2-F}</math>

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: <math>(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,</math>,

la ecuación de la circunferencia es:

:<math>(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,</math>

==== Ecuación vectorial de la circunferencia ====

Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)

Con P = (x,y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.

==== Ecuación en coordenadas polares ====

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es ''c'', se describe en [[coordenadas polares]] como <math>(r,\theta) \,</math>
:<math> r=c. \,</math>
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto <math>(s,\alpha) \,</math> y el radio es <math>c \,</math>, la ecuación se transforma en:
:<math>r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2</math>

==== Ecuación en coordenadas paramétricas ====

La circunferencia con centro en (''a'', ''b'') y radio ''c'' se parametriza con funciones trigonométricas como:
:<math>x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]</math>
y con [[función racional|funciones racionales]] como
:<math>x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty</math>

== Área del círculo delimitado por una circunferencia ==

El [[área (Geometría)|área]] del [[círculo]] delimitado por la circunferencia es:

:<math> A = \pi \cdot r^2</math>

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del [[apotema]] por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir:
<math>A = \frac{p \cdot a}{2}</math>.

Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

:<math>A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2</math>

== Otras propiedades ==
[[Imagen:Circulo triang rect.png|thumb|right|220px|Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.]]

El segundo [[teorema de Tales]] muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto (véase [[arco capaz]]).

Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará '''circunscrita''' al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano <math>(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) \,</math>, la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

::<math>
\det\begin{bmatrix}
x & y & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.
</math>

== Circunferencia en topología ==

En [[topología]], se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea [[homeomorfismo|homeomorfa]] a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un [[segmento]] cerrado.<ref>Diccionario de términos de topología empleados por [[Jacques Lacan]].</ref>

Los geómetras, llaman a la superficie de la esfera 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como <math>S^2\;</math>.<ref> http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html</ref>

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Véase también ==

* [[Círculo]]
* [[1-esfera]]
* [[Sección cónica]]
** [[Elipse]]
** [[Parábola]]
** [[Hipérbola]]

== Enlaces externos ==
*[http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/poligonos_areas_dbc/2.htm Círculo y circunferencia, en ''Descartes''. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. '''Ministerio de Educación''', Política Social y Deporte de España.]
*[http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Circunferencia/La%20circunferencia.htm Materiales didacticos: Circunferencia, en ''Descartes''. ]
*[http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la '''Universidad de Los Andes''', Venezuela.]

[[Categoría:Secciones cónicas]]
[[Categoría:Geometría elemental]]

[[bg:Обиколка (геометрия)]]
[[ca:Circumferència]]
[[de:Umfang]]
[[en:Circumference]]
[[eo:Perimetro]]
[[et:Ümbermõõt]]
[[fi:Piiri (geometria)]]
[[fr:Circonférence]]
[[gl:Circunferencia]]
[[hr:Opseg]]
[[mk:Обиколка]]
[[nn:Omkrins]]
[[pl:Obwód (geometria)]]
[[sr:Обим (геометрија)]]
[[th:เส้นรอบวง]]

Revisión del 20:31 4 mar 2009

caras de mondaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa malparidos gonorreas

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