Base dual

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomórfico a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e1, …, en} de V, hay asociada una base dual {e1,...,en} de V* con la relación

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue:

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Ejemplo[editar]

Encontrar la base dual para un espacio en R3 cuyas bases están dadas por:

Calculamos la base dual para su espacio dual

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

que es equivalente en este caso a

al sustituir se obtiene

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Propiedades de la base dual[editar]

Efecto en un vector[editar]

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

El resultado de aplicar e*i en v es el siguiente:

Y por eso e*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente de su vector de coordenadas respecto a la base.

Coordenadas respecto a la base dual[editar]

Hagamos que F sea un elemento genérico de V*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

Produce la relación:

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

En efecto esa es la relación:

Cada transformación lineal F en V* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación ei y por eso:

  • (e*1, ..., e*n) es efectivamente una base de V*, que es por lo tanto de dimensión n;
  • la fi es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base.