Arco conexo

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En topología un espacio topológico se dice que es conexo por arcos o arcoconexo si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva homeomorfa al intervalo unidad.

Definición[editar]

Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico. Un arco en X_{}^{} es un embebimiento \sigma:[0,1] \longrightarrow X , es decir, una aplicación continua que es un homeomorfismo restringida a su rango \sigma:[0,1] \longrightarrow \sigma([0,1]). Obviamente se puede sustituir [0,1]_{}^{} por cualquier otro intervalo cerrado [a,b_{}^{}], ya que son todos homeomorfos.

Se dice que (X,\mathcal{T}) es un espacio conexo por arcos o arcoconexo si para cada par de puntos distintos x, y\in X, existe un arco \sigma tal que \sigma(0)=x_{}^{} y \sigma(1)=y_{}^{}.

Conexión por arcos y por caminos[editar]

Es obvio que todos los espacios conexos por arcos son conexos por caminos. El recíproco no es en general cierto. Como contraejemplo basta considerar la recta con dos orígenes: Tómense dos copias de la recta real, \mathbb{R}\times\{0\} y \mathbb{R}\times\{1\}. Definimos la recta con dos orígenes como el espacio cociente R que se obtiene al identificar (t,0) con (t,1) si t\neq0. Intuitivamente, este espacio es como la recta real, pero posee dos orígenes (las clases de equivalencia de (0,0) y (0,1)) que son imposibles de separar. Luego este espacio no es de Hausdorff. Más áun, no existe ningún arco que una ambos orígenes. Por lo tanto R no es arcoconexo, pero es sencillo comprobar que sí es conexo por caminos.

A pesar de que en general ambas nociones son distintas coinciden en una de las clases más importantes de espacios topológicos, los Hausdorff.