Teorema de clasificación de grupos simples

En teoría de grupos, el teorema de clasificación de grupos simples, se diseñó para clasificar todos los grupos simples finitos. Estos grupos pueden ser vistos como los bloques que construyen todos los grupos finitos, al mismo modo que los números primos construyen los números naturales. El teorema de Jordan-Hölder es la manera más precisa de establecer este hecho acerca de los grupos finitos.

El "teorema" es principalmente una manera conveniente de describir gran cantidad de escritos matemáticos, hechos en decenas de miles de páginas de más de 500 artículos escritos por más de cien autores en revistas matemáticas, la mayoría de los cuales fueron publicadas entre 1955 y 1983, dando cabida a dudar de la demostración y la completitud de la misma, por su longitud y complejidad.

El teorema de clasificación

El teorema es enunciado de la siguiente manera:

Todo grupo finito simple es isomorfo a uno de los 26 grupos simples esporádicos o bien es isomorfo a uno de los siguientes grupos: Un grupo cíclico con orden primo Un grupo alternante de grado al menos 5 Un grupo de tipo Lie simple Incluyendo en este último caso a los grupos Tit

Algunos consideran a los grupos Tit como grupos esporádicos debido a que no son estrictamente grupos de tipo Lie, pero esta diferencia no tiene impacto en el teorema de clasificación.

Los primeros grupos esporádicos a ser descubiertos fueron los cinco primeros grupos de Mathieu, descubiertos en 1860 por Émile Mathieu. Los otros 21 grupos esporádicos fueron encontrados entre los años 1965 y 1975. 20 de los 26 forman tres familias (uno de los cuales es la familia de los grupos de Mathieu), y son subgrupos o grupos cociente de los grupos de Monster, el cual es el grupo esporádico con el orden más alto. Los seis grupos esporádicos restantes definen una clasificación llamada los grupos paria.

El teorema de clasificación tiene dispersas aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, tales preguntas acerca de la estructura de los grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) pueden ser reducidas preguntas sobre grupos finitos simples. Es debido al teorema de clasificación , que tales preguntas puedes aclararse examinando solo finitas configuraciones, en particular, cada una de las infinitas familias a menudo pueden ser eliminadas por un único argumento.

Dudas acerca de la prueba

Existen algunas dudas en cuanto a si la prueba, la cual se extiende por más de 500 artículos, es completa y correcta, y esas dudas se justifican en gran medida cuando se encuentran obstáculos y "huecos" en algunos argumentos. A pesar de todas los obstáculos que se han encontrado partes de la supuesta prueba permanecen inamovibles. Jean-Pierre Serre es un notable escéptico acerca de la supuesta prueba de este enorme teorema.​

Durante más de una década, los expertos sabían de un "hueco" (de acuerdo con Michael Aschbacher) en el teorema de clasificación no publicado por Geoff Mason de los grupos 'quasithin'. El anuncio de Daniel Gorenstein en 1983 de que los grupos finitos simples habían sido clasificados, en parte se basa en su convicción de que el caso de los grupos 'quasithin' había sido terminado. Fue hasta en 2004 que Aschbacher y Steve Smith publicaron una clasificación completa de dichos grupos que abarca cerca de 1200 páginas.

Clasificación de segunda generación

La prueba del teorema, en su forma actual, puede ser llamada de primera generación. Debido a la extrema longitud de la prueba de la primera generación de la prueba, se ha dedicado mucho esfuerzo a la búsqueda de una prueba sencilla, llamada prueba de segunda generación. Este esfuerzo, llamado "revisionismo", fue dirigido por Daniel Gorenstein.

A partir de 2005, se han publicado seis volúmenes de la segunda generación de la prueba. Se estima que la nueva prueba es de aproximadamente 5.000 páginas. Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados a el caso quasithin, de tal manera que los volúmenes pueden ser parte de la segunda generación de la prueba.

Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que una simple prueba de ello es posible.

• Lo más importante es que la declaración final del teorema que ahora se conoce. La simplificación de técnicas que pueden aplicarse a los grupos que sabemos conocemos como finitos y simples son adecuadas en esta generación. En cambio, los que trabajaron en la primera generación de la prueba no conocían la cantidad de grupos esporádicos, y de hecho algunos de los grupos esporádicos (por ejemplo, el grupo de Janko) fueron descubiertos probando otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas de las piezas del teorema se demuestra mediante las técnicas que eran demasiado generales.

• Debido a que la conclusión era desconocida, la primera generación de la prueba se compone de muchos teoremas autónomos, que tratan de importantes casos especiales. Gran parte de la labor de probar estos teoremas se dedicó al análisis de numerosos casos especiales. El precio pagado en virtud de la presente estrategia, es que estos teoremas de primera generación ya no tienen pruebas cortas, sino que dependen de la clasificación completa.

• Muchos teorema de primera generación se superponen, y así la los casos posibles en vías ineficientes. Como resultado, las familias y subfamilias de los grupos finitos simples se identificaron varias veces. La revisión de la prueba elimina las redundancias existentes en la subdivisión de los casos.

• Actualmente los teóricos de grupos finitos tienen más experiencia en este tipo de ejercicio, y tienen nuevas técnicas a su disposición.

Clasificación de tercera generación

Algunos designan los trabajos sobre el problema de clasificación hechos por Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, y algunos otros, como prueba de tercera generación.

Referencias

• Michael Aschbacher (2004) "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups," Notices of the American Mathematical Society.
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985). Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford University Press. ISBN 0198531990. 
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104-115.
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon (1994) The Classification of the Finite Simple Groups, Vol. 1, Volume 2. AMS,
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Introducción concisa al lector)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (Otra introducción concisa al lector)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society.

Enlaces externos

• ATLAS of Finite Group Representations. Base de datos de representaciones de grupos y otros datos acerca de grupos simples finitos.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Contiene una lista de grupos simples no abelianos cuyo orden es menor a 10¹⁰.

• Datos: Q1340623