Suma directa de módulos

Un coproducto $(A_{i})_{i\in I}$ de objetos en una categoría $C$ , es un objeto $S$ de $C$ , junto a una familia de morfismos $f_{i}\colon A_{i}\to S$ ( $i\in I$ ) tal que para cualquier objeto $B$ y una familia de morfismos $g_{i}\colon A_{i}\to B$ , existe un único morfismo $g\colon S\to B$ tal que $g\circ f_{i}=g_{i}$ .

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ .

Ejemplos

Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea $(A_{i})_{i\in I}$ una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

S:=\{(a_{i})_{i\in I}:a_{i}\in A_{i}

y todos los

a_{i}

son cero, excepto un número finito de ellos

\}

, y definimos

f_{i}\colon A_{i}\to S

como la inclusión de

A_{i}

en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento $k\in$ R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

(a_{i})_{i\in I}+(b_{i})_{i\in I}:=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}

k(a_{i})_{i\in I}:=(ka_{i})_{i\in I}

Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que $W\cap U=\{0\}$ , podemos definir la suma directa interna, denotada $W\oplus U$ , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.