Grupo circular

El grupo circular o U(1) es el conjunto de puntos en la circunferencia unidad $S^{1}$ del plano euclídeo. Desde el punto de vista algebraico, $S^{1}$, es un grupo matemático donde la operación binaria es inducida por la multiplicación de los números complejos es decir, si $z=e^{i\alpha },w=e^{i\beta }\,$ entonces $zw=e^{i(\alpha +\beta )}\,$.

Propiedades

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}$

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo $\mathrm {U} (1)\,$ también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de $1\times 1$ de entrada compleja

$e^{i\theta }\cong {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo $\mathrm {SO} (2)\,$ representa el conjunto de estas matrices de $2\times 2$ cuyo determinante es igual a uno ($\mathrm {SO} (2):=\{A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} ):\det(A)=1\}$). El conjunto $\mathrm {SO} (2)\,$ también es isomorfo a $\mathrm {U} (1)\,$.

Referencias

• Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]

• Datos: Q105356493