Conexión de Levi-Civita

En geometría de Riemann, la conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada. El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estas propiedades.

En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad pseudoriemanniana el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita. La expresión en coordenadas espaciales de la conexión se llama los símbolos de Christoffel.

Definición formal

Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad pseudoriemanniana) entonces una conexión afín $\nabla$ es una conexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes

Preserva la métrica, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X, Y, Z tenemos $Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$ , donde X g(Y, Z) denota la derivada de la función g(Y, Z) a lo largo del campo vectorial X.

Es libre de torsión, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X y Y tenemos $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ , donde $[X,Y]$ es el corchete de Lie de los campos vectoriales X y Y.

Derivada a lo largo de una curva

La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D.

Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como

{\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V

.

Conexión estándar de $\mathbb {R} ^{n}$

Para dos campos vectoriales $X,Y$ en el espacio euclídeo n-dimensional, ésta está dada por la regla

D_{X}Y=(JY)X\,

donde $JY$ es el jacobiano de Y.

Conexión inducida en superficies de $\mathbb {R} ^{3}$

Para un par de campos vectoriales tangentes a una superficie (variedad de codimensión 1 en $\mathbb {R} ^{3}$ ) se puede inducir una derivada covariante mediante el cálculo