Triángulo de Sierpinski

El triángulo Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.

Construcción

El matemático polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia 1882-1969) creó varios objetos fractales, entre ellos el conocido triángulo de Sierpinski. De manera análoga al conjunto de Cantor, este fractal puede ser obtenido por medio de una sucesión infinita de extracciones. La construcción procede como sigue:

A partir de un triángulo equilátero inicial con lados de longitud 1 por comodidad, unimos los puntos medios de cada lado y extraemos el triángulo central interno. Después de este primer paso obtenemos tres triángulos iguales, cada uno equilátero y con longitudes que son exactamente la mitad del triángulo inicial.
Con los tres triángulos producidos por el paso anterior, procedemos de igual manera a aplicar este proceso generador en cada uno de ellos, para así obtener tres nuevos triángulos por cada uno, lo cual produce finalmente 9 triángulos equiláteros, cada uno a escala (1/2)² del inicial.
Continuamos el proceso anterior en cada uno de lo snuevos triángulos que se vangenerando hasta llegar al límite del proceso. La figura última es conocida como el triángulo T de Sierpinski.

El Área removida: Si el área inicial en el triángulo que tomamos como base para la construcción de T es A, podemos notar que en la primera extracción el área del triángulo

extraído es  $(1/4)A$ . En el segundo paso

removemos 1/4 del área de cada uno de los tres triángulos generados, con lo que obtenemos

 $3\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}A$

y, en general, el área extraída hasta el fin del proceso tiene como magnitud la suma infinita: $A\left({\frac {1}{4}}+3\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+3^{2}{\left({\frac {1}{4}}\right)}^{3}+3^{3}{\left({\frac {1}{4}}\right)}^{4}+\cdots \right)=A.$ El área removida en el triángulo de Sierpinski es exactamente toda el área inicial A y, sin embargo, aún tenemos puntos. Luego estos puntos, que conforman a T, no están agrupados formando alguna área ---cuya dimensión usual sería 2--- sino que están esparcidos pero juntos, es decir, forman otra especie de polvareda como lo hace el Conjunto de Cantor.

Mediante un SFI

Un SFI sistema de funciones iteradas en $\mathbb{R}^2$, es básicamente una lista de transformaciones afines $A_{i}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ , $i=1,\dots n$ el cual notamos ${\mathcal {F}}=\{A_{1},\dots ,A_{n}\}.$ La imagen ${\mathcal {F}}(S)$ de $S\subset \mathbb {R} ^{2}$ la defimos como la unión de cada una de las imágenes $A_{i}(S)$ , es decir, ${\mathcal {F}}(S)=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}(S).$

Para un SFI también requeriremos que cada una de las transformaciones afines $A_{i}$ sea una contracción. De manera sucinta, un SFI consiste en un conjunto de funciones contractivas que definen una función contractiva más compleja ${\mathcal {F}}$ .

En el caso del triángulo de Sierpinski dejamos que la figura T que tomamos como 'motivo' sea un triángulo y que el SFI ${\mathcal {F}}$ conste de tres transformaciones afines $w_{1},w_{2},w_{3}$ , donde cada una contrae el triángulo o 'motivo' a la mitad y luego lo traslada (ver figura), al reunir estas tres imágenes obtenemos la imagen del sistema mostrado en la gráfica.

En la figura siguiente se ha tomado como figura inicial el triángulo a la izquierda:

Dado que las transformaciones afines tienen la propiedad de enviar segmentos de línea recta nuevamente en segmentos de línea recta, el cálculo de la imagen de una figura en forma de poliedro es sencillo, pues basta calcular las imágenes de los vértices y proceder a unirlos con segmentos de recta.

La imagen de T por medio de ${\mathcal {F}}$ es definida como ${\mathcal {F}}(T)=w_{1}(T)\cup w_{2}(T)\cup w_{3}(T)$ ---la unión de las imágenes por cada una de las funciones---. Al considerar la órbita de ${\mathcal {F}}$ en la figura inicial T}, tenemos que el SFI al final nos producirá el triángulo de Sierpinski, lo que notamos $T,\,{\mathcal {F}}(T),\,{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(T)),\,\ldots \,\to \,S.$

Sorprendentemente y debido a la contractividad del sistema ${\mathcal {F}}$ todo SFI siempre es forzado a converger a una única figura ${\mathcal {A}}$ , la cual llamamos el atractor del sistema. Y aún más sorprendente, esta convergencia ¡no depende del `motivo' inicial que tomemos! es decir que cualquier figura inicial será enviada a este atractor por la iteración de la función ${\mathcal {F}}(T)$ . Por ejemplo si el motivo inicial es una casa o un gato y no un triángulo, también obtendremos al final nuestro triángulo de Sierpinski

También se puede construir T a partir de un punto aleatorio cualquiera p, y para simplificar la programación, escoger al azar una imagen entre h_a(M), h_b(M) y h_c(M) (en cada paso) en vez de tomar siempre las tres. Esto permite hacer un programa sin recursividad, pero claro, trae una desventaja: el número de pasos para obtener una figura satisfactoria será mucho más largo (en cada paso sólo se dibuja un punto); El siguiente código es en para Mathematica de Wolfram:

n = 6;
T = {{{0, 0}, {1, Sqrt[2]}, {2, 0}}};
Tt = Nest[Join[#/2,Map[Map[#+{1,0} &, #] &, #/2],
 Map[Map[# + {1/2, Sqrt[2]/2} &, #] &, #/2]] &, T, n];

ListPlot[Tt,  AspectRatio -> Automatic, Axes -> False]

Relación con el conjunto de Cantor

Si se interseca el triángulo de Sierpiński por una recta paralela a uno de sus costados, se obtiene una figura con un gran parentesco (y parecido) con el conjunto de Cantor.

Dimensión fractal

El triángulo de Sierpinski tiene una dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch coincidente con su dimensión fractal igual a:

$D_{HB}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}$

Igualmente fácil es encontrar la dimensión fractal usando un sistema iterativo de funciones, formado por tres funciones contractivas con constante de Lipschitz 1/2 de donde se sigue que la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch satisface:

$3\left({\frac {1}{2}}\right)^{D_{HB}}=1\quad \Leftrightarrow \quad D_{HB}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}$

Véase también

Enlaces externos

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Referencias

Rubiano, Gustavo (2009). Iteración y fractales (con Mathematica®). Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá) Facultad de Ciencias. ISBN 9789587192087. Consultado el 22 de abril de 2010.

Datos: Q663365
Multimedia: Sierpinski triangles / Q663365