Serie de Eisenstein

Las series de Eisenstein, llamadas así en honor al matemático alemán Ferdinand Eisenstein, son formas modulares con expasiones en forma de series infinitas que pueden escribirse directamente. Originalmente definidas para el grupo modular, las series de Eisenstein pueden ser generalizadas en la teoría de formas automórficas.

Series de Eisenstein para el grupo modular

La parte real de G₆ como una función de q en el disco unidad. Los números negativos están representados en negro.

La parte imaginaria de G₆ como una función de q en el disco unidad.

Sea τ un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. Se define la serie de Eisenstein holomorfa G_2k(τ) de peso 2k, donde k ≥ 2 es un entero, mediante la siguiente serie:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Esta serie convege absolutamente a una función holomorfa de τ en el semiplano superior y su expansión de Fourier dada abajo muestra que puede extendese a una función holomorfa τ = i∞. Es un hecho remarcable que la serie de Eisenstein es una forma modular. De hecho, la propiedad clave está en su SL(2, $\mathbb {Z}$)-invarianza. Explícitamente si a, b, c, d ∈ $\mathbb {Z}$ y ad − bc = 1 entonces

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

Bibliografía

• Akhiezer, Naum Illyich (1970). Elements of the Theory of Elliptic Functions (en russian). Moscow.  Translated into English as Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs 79. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990. ISBN 0-8218-4532-2. 
• Apostol, Tom M. (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd edición). New York, NY: Springer. ISBN 0-387-97127-0. (requiere registro). 
• Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). «On Eisenstein Series». Proc. Amer. Math. Soc. 127 (6): 1735-1744. doi:10.1090/S0002-9939-99-04832-7. 
• Iwaniec, Henryk (2002). Spectral Methods of Automorphic Forms. Graduate Studies in Mathematics 53 (2nd edición). Providence, RI: American Mathematical Society. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7. 
• Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7 (transl. edición). New York & Heidelberg: Springer-Verlag. (requiere registro). 

• Datos: Q1313257