Polinomios de Appell generalizados
En matemáticas, una serie polinómica tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma la forma:
donde la función de generación o núcleo se compone de la serie
- con
y
- y todos los
y
- con
Dado lo anterior, no es difícil demostrar que es un polinomio de grado .
Los polinomios de Boas-Buck es una clase de polinomios un poco más general.
Casos especiales
[editar]- La elección de da la clase de polinomios de Brenke.
- La elección de da como resultado la serie de Sheffer de polinomios, que incluye los polinomios por diferencias generales, como la interpolación polinómica de Newton.
- La elección combinada de y da la serie de Appell de polinomios.
Representación explícita
[editar]Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita
La constante es
donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de en partes de ; es decir, la suma se extiende sobre todo de tal manera que
Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula
Relación de recursión
[editar]De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo pueda escribirse como con es que
donde y tienen la serie de potencias
y
Sustituyendo
inmediatamente da la relación de recurrencia.
Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que y, por lo tanto, todos los , simplificando significativamente la relación de recursión.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.
- William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
- W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.